حل للأستاذ العزيز مجدى عبد السلام
فليسمح لنا بعرضه

-------------------------------------------------------
يوجد حل ان شاء الله و لكن عايز صبر0
نصل ل ب , ب م , م س , س ن , ن جـ , جـ ل
نفرض أن طول ضلع المثلث أ ب جـ = د
==========ع جـ س= هـ
==========ب س ص = و
ب ل = جـ ل = ( 1/جذر3 ) د
ن س = جـ ن = (1/جذر3) هـ
ب م = م س = (1/جذر3) و من علاقة متوسطات المثلث بأضلاعه

من الشكل الهندسى د + هـ = و د^2 + 2دهـ + هـ^2 = و^2

يمكن بالتعويض اثبات الاطراف الاتيه :
1/3 [ د^2 + د هـ + هـ^2 ] = 1/3 [ هـ^2 + و^2 - هـ و ] = 1/3 [ د^2 + و^2 - د و]

فى المثلث ل ب م : ل م تربيع= ب ل تربيع + ب م تربيع - 2 ب ل0 ب م جتا60
= 1/3 د تربيع +1/3 و تربيع -1/3 د و.................(1)
فى المثلث نسم : م ن تربيع = ن س تربيع + س م تربيع -2 ن س 0سم جتا 60
=1/3 هـ تربيع +1/3 و تربيع -1/3 هـ و ...............(2)
فى المثلث ل جـ ن : ل ن تربيع = ل ج تربيع + جـ ن تربيع - 2 ل جـ 0 جـ ن جتا 120
= 1/3 د تربيع + 1/3 هـ تربيع + د هـ .............(3)

من العلاقات السابقة : ل م = م ن = ل ن
------------------------------------------------------------------------------------
شكراً لكم