بالنسبة للنظرية الأولى والرابعة والخامسة والسادسة فإنها تبرهن بطريقة نقض الفرض وهي تعتمد على أن نفرض بأنه من الممكن أن يكون الفرض (المعطيات) غير صحيحة ونصل إلى تناقض أي أن افتراضنا غير صحيح وسأوضح ذلك من خلال النظرية الأولى:
سنفرض مؤقتاً أنه يوجد مثلث أ ب جـ فيه ق(أ) + ق(ب) أكبر أويساوي 180(قائمتين) هذا يعني ق(أ) + ق(ب) + ق(جـ) أكبر من 180 وهذا يناقض النظرية القائلة أن مجموع قياسات زوايا المثلث = 180درجة فالفرض المؤقت خاطئ وهذا يعني أن مجموع قياسي أي زاويتين في المثلث أقل من قائمتين.