منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

04-06-2008, 03:44 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

هذه المتراجحة وردت في أوليمبياد USA عام 1974

وفكرتها مبنية على استخدام Chebysev's inequality وكذلك فهم اللوغاريتمات

بدون المساس بعمومية المسألة نفرض أن

$a \leq b \leq c$

وهذا يستلزم

$\ln a \leq \ln b \leq \ln c$

لدينا الآن متتابعتين يمكن تطبيق Chebysev's inequality

$a \ln a+ b \ln b + c \ln c \geq \frac{(a + b + c)(\ln a + \ln b + \ln c)}{3}$

$\ln a^a+\ln b^b +\ln c^c \geq \frac{(a + b + c)}{3}(\ln a + \ln b + \ln c)$

$\ln (a^a b^b c^c ) \geq \frac{(a + b + c)}{3}(\ln abc)$

$\ln (a^a b^b c^c ) \geq \ln (abc)^{\frac{(a + b + c)}{3}}$

$\Longrightarrow (a^a b^b c^c ) \geq (abc)^{\frac{(a + b + c)}{3}}$

مع الشكر للجميع