منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

19-06-2008, 10:52 PM

متفاوتات الوسط : التربيعي -الحسابي -الهندسي -التوافقي

ليكن $n$ من $\mathbb N$ و $x_i$ من ${\mathbb R}^+$ حيث $i \in \{1 , 2 , 3 , . . . , n \}$

$\Bigg(\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \: \frac{1}{x_i}} \: \Bigg)^n \: \le \: \prod_{i=1}^{n} \: x_i \: \le \: \Bigg( \frac{\sum_{i=1}^{n} \: x_i}{n} \Bigg)^n \: \le \: \Bigg(\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} \: x_i^2}{n}}\Bigg)^n$

و يتحقق التساوي ادا و فقط ادا كان : $x_1=x_2=....=x_n$

في حالة عددين حقيقين موجبين تصبح المتفاوتات على الشكل :

${\frac{2}{\: \frac{1}{a} \: + \: \frac{1}{b}} \: \le \: \sqrt{ab}\: \le \: \frac{a+b}{2} \:\le \: \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}$

مع التساوي ادا و فقط ادا كان $a=b$

تطبيقات لمتفاوتة الوسط التربيعي-الحسابي-الهندسي-التوافقي

مثال اول

لدينا حسب متفاوتة الوسط الحسابي -الهندسي لثلاتة اعداد :

$(a+b+c)^3 \: \geq \: 27abc$

لدينا حسب متفاوتة الوسط التربيعي-الحسابي لثلاتة اعداد :

$a^2+b^2+c^2 \: \geq \: \frac{(a+b+c)^2}{3}$

مثال ثاني

متفاوتة لياسين برهن عنها الاستاذ عمر