منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

12-02-2009, 03:12 AM

2/ حل المعادلة العامة: $acosx+bsinx=c$
- إذا كان $\left(a,b \right)\neq \left(0,0 \right)$ نضع: $r=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$ و $z=\frac{a+ib}{r}$ . لدينا $\left|z \right|=1$ ومنه يوجد $\theta \in \mathbb{R}$ بحيث: $z={e}^{i\theta }$
المعادلة السابقة تصبح على الشكل التالي:
$cos\theta cosx+sin\theta sinx=\frac{c}{r}\Leftrightarrow cos(x-\theta )=\frac{c}{r}.$
- نناقش عدد الحلول حسب وضعية $c$ بالنسبة إلى $\pm r$
المناقشة:
- إذا كان $\left|\frac{c}{r} \right|\succ 1$ لا توجد حلول.
- إذا كان $\left|\frac{c}{r} \right|\leq 1$ يوجد هناك حلين للمعادلة السابقة هما: ${x}_{1,2}={z}_{1,2}+\theta +2k\pi /k\in \mathbb{Z}$
حيث: ${z}_{1,2}$ هما حلي المعادلة: $cosz=cos(x-\theta )=\frac{c}{r}$ .
أو طريقة أخرى:
المعادلة السابقة يمكن كتابتها على الشكل: $Re\left((a-ib){e}^{ix}-c \right)=0$ و التفسير الهندسي لهذه المعادلة هو عبارة
عن إيجاد نقط التقاطع بين الدائرة المثلثية و المستقيم الذي معادلته: $Arg\left((a-ib)z-c \right)=1$