منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

08-04-2009, 12:41 AM

الحل الذي لدي لايختلف في بدايته على فكرة الأخ mathson

ودائما باستعمال متفاوتة الوسط الحسابي-الهندسي لدينا :

$\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}= \sqrt {\left( {{x^2} + yz} \right) + xz + yx}\ge \sqrt {2x\sqrt {yz}+ xz + yx}= \sqrt {{{\left( {\sqrt {xz}+ \sqrt {yx} } \right)}^2}}= \sqrt {xz}+ \sqrt {yx}$

إذن :

${x \over {x + \sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} \le {x \over {x + \sqrt {xz}+ \sqrt {yx} }} = {{\sqrt x } \over {\sqrt x+ \sqrt y+ \sqrt z }}$

وبالتالي :

$\sum\limits_{cyc} {{x \over {x + \sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} \le \sum\limits_{cyc} {{{\sqrt x } \over {\sqrt x+ \sqrt y+ \sqrt z }}} }= 1$