منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

17-06-2009, 06:29 PM

الهدف من التمرين هو إيجاد جميع الدوال المعرفة على $\mathbb{R}$ و التي تحقق في المجال $[-1.1]$ $f(2x)=2f(x)^2-1$ بحيث $f(0)=1$ و $\frac{1-f(x)}{x^2}$ لديه نهاية عند ما $x$ تؤول إلى الصفر التي نحددها ب $a$
ندكر بكل $x$ من المجال $[-1,1]$ تكتب على شكل واحد $x=cos(\alpha)$ مع $\alpha$ من المجال $[0,\pi]$
1) (a) تحقق $\lim_{\alpha \to 0}\frac{1-cos(\alpha)}{\alpha^2}=\frac{1}{2}$ (يمكن إستعمال علاقة تعطي $cos(2r)$

(b) بين أن لكل $\alpha$ من المجال $[0,\frac{\pi}{2}]$
لدينا العلاقة : $sin(\alpha)\ge \frac{2\alpha}{\pi}$ و $cos(\alpha)\le 1-\frac{\alpha^2}{\pi}$
2) لتكن $f$ دالة تحقق المطلوب
نعطي لكل $x$ حقيقي و $n$
صحيح (a)
$f(\frac{x}{2^n})=cos(\alpha_n)$ مع
$\alpha_n$ من المجال $[0,\pi]$
بين أن $f$ متصلة في 0 و $\lim_{n \to \infty}\alpha_n=0$
(b) بين أنه يوجد $N$ بحيث لكل
$n \ge N$ لدينا $\alpha_{n+1}=\frac{\alpha_n}{2}$
إستنتج أن $a$ موجب و $f(x)=cos(x\sqrt{2a})$