مقدمة

إذا كان محوري القطعين المكافئين متوازيان فانهما يتقاطعان في نقطتين

(و لكن هذا غير صحيح دائما - انظر الرسم أدناه)

و لكن يمكننا وضع العبارة كما يلي :

إذا كان محوري القطعين المكافئين متوازيان فانهما يتقاطعان في نقطتين

على الأكثر

إذا كان محوري القطعين المكافئين متعامدان فانهما يتقاطعان في أربعة نقاط

(و لكن هذا غير صحيح دائما - انظر الرسم أدناه)





سنعتبر أن التقاطع هو أربعة نقاط حسب معطيات السؤال

الآن ، إذا أثبتنا ان تقاطع المكافئين يمثل معادلة دائرة ، هذا يعني ان نقاط

التقاطع التي تحقق هذه المعادلة تنتمي لنفس الدائرة.

لتكن معادلتي القطعين على الشكل الآتي :

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

Ax² + Bxy +Cy² + Dx + Ey + F = 0

معلوم أن شرط كون هاتين المعادلتين قطوع مكافئة هو :

b² - 4ac = 0 و B² - 4AC = 0

بضرب الاولى في B و الثانية في b و من ثم طرحهما :


---------------------------(1)

و هي لا تحتوي على المعامل xy ، تمثل هذه الاخيرة معادلة دائرة

إذا كان معاملا x² و y² متساويان :

aB - Ab = cB - Cb


------------------(2)

لتكون دائرة ، نحتاج أيضا ان تكون معاملات x² و y² ، بالإضافة إلى كونهما متساويان ، أن لا يساويا الصفر

إذا كان كلاهما صفرا :



في تلك الحالة تكون معادلة الدائرة أعلاه :

إما خطا مستقيما مما يعطي أن التقاطع يكون على الأكثر نقطتين

أو مجموعة فارغة مما يعني أن التقاطع لا شيء

الآن ، إذا كانت زاويتا المحورين هما و

، كلاهما بين 0 و 2 باي :



بفرض أن المعادلة (1) تمثل دائرة ، أي أن العلاقة (2) متحققة :





و هذا يعني أن المحورين إما متعامدان ( k فردية ) و إما متوازيان ( k زوجية)

كما قلنا في المقدمة ، يكون التقاطع 4 نقاط عندما يكون محوري القطعين

المكافئين متعامدان - و لكن هذا غير صحيح دائما -

النتيجة :

في حال تقاطع قطعين متكافئين :

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

Ax² + Bxy +Cy² + Dx + Ey + F = 0

في 4 نقاط ، تكون هذه النقاط على دائرة واحدة :



بشرط :