منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

06-04-2008, 09:33 PM

مسالة بسيطة سبق و عرض مثلها

للبرهنة نحتاج متفاوتة اخرى : $x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}$

للبرهنة عليها يكفي استخدام متفاوتة الوسط التوافقي و الحسابي
$sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} \geq \frac{x+y}{2}$

بالتعويض نجد $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq \frac{(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}{2}^2$

$\Rightarrow(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq \frac{(1+\frac{a+b}{ab})}{2}^2$

$\Rightarrow(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq \frac{(1+\frac{1}{ab})}{2}^2$

و نعلم ان $\frac{(a+b)^2}{ab}\geq 4$

$\Rightarrow\frac{1}{ab}\geq 4$

$\Rightarrow 1+ \frac{1}{ab}\geq 5$

$\Rightarrow (1+ \frac{1}{ab})^2\geq 25$

$\Rightarrow \frac{(1+ \frac{1}{ab})^2}{2}\geq\frac{25}{2}$

$\Rightarrow(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq\frac{(1+ \frac{1}{ab})^2}{2}\geq\frac{25}{2}$

$\Rightarrow(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2 \:\geq\frac{25}{2}$

وهو المطلوب