السلام عليكم ورحمة الله
نفرض ان الاعداد هي س ، ص ، ع في توالي هندسي
ص^2 = س ع ...........................(1)
س + ص + ع = 7 ===> س + ع = 7 - ص ........................(2)

س^3 + ص^3 + ع^3 =1 ......................................(3)
بتكعيب (2)
(س + ع)^3 = (7 - ص)^3
س^3 + 3س^2ع +3ع^2س + ع^3 = 343-147ص + 21 ص^2 - ص^3
(س^3+ع^3) +3س ع(س +ع) = 343-147ص + 21 ص^2 - ص^3
بالتعويض من (1) ، (3) في المعادلة السابقة
73- ص^3 +21ص^2 - 3ص^3 = 343-147ص + 21 ص^2 - ص^3
3ص^3 - 147ص +270 =0
ص^3- 49ص +90 = 0 ====> بالاصفارالنسبية المحتملة نجدان 2 صفرا لها
(ص-2) (ص^2+2ص -45) =0 ص=2 او ص = -1+-جذر(26)
بالتعويض عن ص في 1 ، 2
س ع = 4 ، س + ع = 5 وبحلهما معا نجد ان س = 4 ، ع = 1