منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

22-11-2009, 03:14 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة jomanaomar [ مشاهدة المشاركة ]
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
Prove that
$\frac{1}{x+1}\leq ln \frac{x+1}{x}\leq \frac{1}{x}$
for every x > 0

و عليكم السلام و رحمة الله
الدالة $t\rightarrow \ln t$ معرفة و مستمرة على المجال المغلق $(x, x+1)$ حيث $x>0$
و قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $)x, x+1($ .
و منه حسب نظرية التزايدات المنتهية يوجد ثابت $c\in )x, x+1($ حيث:
$\ln (x+1)-\ln (x)=\left(x+1-x \right).\frac{1}{c}$
$\Leftrightarrow \ln \left(\frac{x+1}{x} \right)=\frac{1}{c}$
$x<c<x+1\Rightarrow \frac{1}{x+1}<\frac{1}{c}<\frac{1}{x}$
و منه ينتج المطلوب