السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مرحباً بالأخوة الكرام

المسألة العامة :

لتكن د(س) كثيرة حدود
و كانت د(0) و د(1) مساويتان لأعداد فردية

أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحل:

بفرض أن د(س) كثيرة حدود من درجة ن>1 تحقق الشرطان
د(0) = عدد فردى
د(1) = عدد فردى
بفرض أن د(م) = صفر حيث م عدد صحيح

نستنتج أن (س - م) عامل من عوامل د(س)
إذاً يوجد كثيرة حدود من درجة ( ن-1) مثل ر(س) تحقق الشرط
د(س) = (س - م) × ر(س)

الأن
د(0) =(0 - م ) × ر(0) = عدد فردى
وهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = عدد فردى
وهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحالة الخاصة
لتكن د(س) = أ س3 + ب س2 + جـ س + د

و د(0) = 3 و د(1) = 5
أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحل
بفرض أن د(م) = صفر حيث م عدد صحيح
نستنتج أن (س - م) عامل من عوامل د(س)
إذاً يوجد كثيرة حدود من درجة الثانية مثل ر(س) تحقق الشرط
د(س) = (س - م) × ر(س)

الأن
د(0) = (0- م) × ر(0) = 3 عدد فردى
وهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = 5 عدد فردى
وهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان
لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

شكرا للجميع