منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة - مسابقة أجمل حل

18-03-2009, 02:11 AM

السلام عليكم و رحمة الله
مرحبا بالجميع
هذه محاولة لحل المسألة العامة أرجو أن تفيدكم
لتكن ${a}_{0},{a}_{1},...,{a}_{n}$ المعاملات الصحيحة لكثيرة الحدود إذا لدينا:
$P(0)={a}_{0}$ و $P(1)={a}_{0}+{a}_{1}+...+{a}_{n}$
نفرض أن $k$ حل صحيح لكثيرة الحدود أي $P(k)=0$
و هنا نناقش حالتين:
1/ إذا كان $k$ زوجي أي: $k=2m$ فإن:
$P(2m)={a}_{0}+2m({a}_{1}+...+{(2m)}^{n-1}{a}_{n})$
أي:
$P(2m)=P(0)+2m\alpha \Rightarrow P(2m)\equiv P(0)\left[2 \right]$
و هذا يناقض الفرض كون $k=2m$ جذر صحيح لكثيرة الحدود,
2/ إذا كان $k$ فردي أي: $k=2m+1$ فإن:
$P(2m+1)=P(1)+2m\beta \Rightarrow P(2m+1)\equiv P(1)\left[2 \right]$
و هذا يناقض الفرض كون $k=2m+1$ جذر صحيح لكثيرة الحدود السابقة.
في كلا الحالتين نجد أن كثيرة الحدود لا تقبل جذور صحيحة.