السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباً بالأخوة الكرام

يعتمد البرهان السابق للحل العام والخاص
المطروح فى مشاركتى الأولى على الحقائق الأتية
1- إذا كانت لدينا كثيرة حدود مثل د (س) من الدرجة ن >0
ذات معاملات صحيحة نستنتج أنه
لأى عدد صحيح مثل م فإن د (م) هى أيضاً عدد صحيح

2- وإذا كان (س- م) عامل للدالة د (س) حيث م عدد صحيح
فإننا يمكن إيجاد كثيرة حدود من الدرجة (ن - 1) مثل ر(س) ذات معاملات صحيحة أيضاً بحيث
د(س) = ( س - م ) × ر(س) ..........(1)
ولإثبات ذلك
بفرض أن
مصفوفة المعاملات د(س) هى:
( أ_ن , أ_ن-1 , ... , أ₁ , أ₀) جميعها أعداد صحيحة
مصفوفة المعاملات ر(س) هى:
(ب_ن-1 ,ب_ن-2 , ... , ب₁ , ب₀)
وبفك الطرف الأيسر فى (1) ومقارنة المعاملات نجد أن
أ_ن = ب_ن-1
وهذا يقتضى أن ب_ن-1 عدد صحيح

أ_ن-1 = - م × ب_ن-1+ ب_ن-2
وهذا يقتضى أن ب_ن-2 عدد صحيح
وهكذا
.....................
...................

أ₀= - م × ب₀
وهذا يقتضى أن ب₀ عدد صحيح
فتكون ر(س) هى أيضاً كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة ويكون
لأى عدد صحيح مثل م فإن ر(م) هى أيضاً عدد صحيح

الحل العام
د(0) =(0 - م ) × ر(0) = عدد فردى وحيث أن ر(0) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = عدد فردى وحيث أن ر(1) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

والحل الخاص
الأن
د(0) = (0- م) × ر(0) = 3 عدد فردى وحيث أن ر(0) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = 5 عدد فردى وحيث أن ر(1) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان
لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة