السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مرحباً بالأخوة الكرام
هذه صورة منقحة للحل ومضاف إليها بعض التوضيحات اللازمة باللون الأحمر لتعم الفائدة

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة استاذ الرياضيات [ مشاهدة المشاركة ]

المسألة العامة : لتكن د(س) كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة و كانت د(0) و د(1) مساويتان لأعداد فردية أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة الحل: بفرض أن د(س) كثيرة حدود من درجة ن>1 ذات معاملات صحيحة تحقق الشرطان د(0) و د(1) مساويتان لأعداد فردية ملاحظة 1:( ن>1 خروجاً من الخلاف هل الدالة الثابتة كثيرة حدود أم لا ) بفرض أن د(م) = صفر حيث م عدد صحيح نستنتج أن (س - م) عامل من عوامل د(س) إذاً يوجد كثيرة حدود من درجة ( ن-1) مثل ر(س) تحقق الشرط د(س) = (س - م) × ر(س) ......(1) ملاحظة 2: بالنظر فى المتطابقة (1) فى حالة س عدد صحيح فإن د(س) عدد صحيح والعامل ( س - م) عدد صحيح وهذا يقتضى أن ر(س) عدد صحيح أيضاً الأن بالتعويض فى (1) عن س = 0 د(0) =(0 - م ) × ر(0) = عدد فردى وحيث أن ر(0) عدد صحيح فهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1) بالتعويض فى (1) عن س = 1 د(1) = (1- م) × ر(1) = عدد فردى وحيث أن ر(1) عدد صحيح فهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2) والنتيجتان متناقضتان لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح أى أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة الحالة الخاصة لتكن د(س) = أ س3 + ب س2 + جـ س + د كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة حيث د(0) = 3 و د(1) = 5 أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة الحل بفرض أن د(م) = صفر حيث م عدد صحيح نستنتج أن (س - م) عامل من عوامل د(س) إذاً يوجد كثيرة حدود من درجة الثانية مثل ر(س) تحقق الشرط د(س) = (س - م) × ر(س) ......(2) بالنظر فى المتطابقة (2) فى حالة س عدد صحيح فإن د(س) عدد صحيح والعامل ( س - م) عدد صحيح وهذا يقتضى أن ر(س) عدد صحيح أيضاً الأن د(0) = (0- م) × ر(0) = 3 عدد فردى وحيث أن ر(0) عدد صحيحفهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1) د(1) = (1- م) × ر(1) = 5 عدد فردى وحيث أن ر(1) عدد صحيح فهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2) والنتيجتان متناقضتان لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح أى أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة شكرا للجميع