منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

21-05-2009, 11:06 PM

المسالة ليست بالسهلة، نفرض أن:

$F(x) = (1+x)^{3n} = \sum_{k=0}^{3n}\binom{3n}{k}x^k$

بالتالي:

$(1+1)^{3n} = F(1) = \sum_{k=0, k\equiv 0}^{3n}\binom{3n}{k} + \sum_{k=0, k\equiv 1}^{3n}\binom{3n}{k}+\sum_{k=0, k\equiv 2}^{3n}\binom{3n}{k} \qquad \qquad (1)$

بافتراض أن $\omega , \omega ^2$ جذرا الواحد التكعيبيان:

$(1+\omega)^{3n} = F(\omega) = \sum_{k=0, k\equiv 0}^{3n}\binom{3n}{k} + \sum_{k=0, k\equiv 1}^{3n}\binom{3n}{k}\omega+\sum_{k=0, k\equiv 2}^{3n}\binom{3n}{k}\omega^2 \qquad \qquad (2)$

وأيضا:

$(1+\omega^2)^{3n} = F(\omega^2) = \sum_{k=0, k\equiv 0}^{3n}\binom{3n}{k} + \sum_{k=0, k\equiv 1}^{3n}\binom{3n}{k}\omega^2+\sum_{k=0, k\equiv 2}^{3n}\binom{3n}{k}\omega \qquad \qquad (3)$

بجمع (1) ، (2) ، (3) : (لاحظ أن $1 + \omega + \omega ^2 = 0$ )

$2^{3n} + 2(-1)^n = 3\sum_{k=0, k\equiv 0}^{3n} \binom{3n}{k} = 3\sum_{k=0}^n\binom{3n}{3k} \qquad \qquad (4)$

ولكننا نعلم أن :

$\sum_{k=0}^{3n}\binom{3n}{k} = 2^{3n} \qquad \qquad (5)$

من (4) ، (5) نجد أن:

$|S_n - 3T_n| = |2^{3n} - (2^{3n} + 2(-1)^n)| = |2(-1)^n| = 2$

وهو المطلوب.