منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

18-05-2009, 09:57 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mathson [ مشاهدة المشاركة ]

أوجد جميع المتتابعات $f(n)$ حيث

$f[f[f(n)]] + f[f(n)] + f(n) =3n$

وجهة نظر ينقصها الكثير ، بس قلت خلنا نحطها

إذا كانت $f$ دالة monotonic ، بوضع $f(n) < n$ يكون :

$L.H.S \;\; = f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) < 3n = \; \; R.H.S$

وبوضع $f(n) > n$ يكون :

$L.H.S \;\; =f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) > 3n = \; \; R.H.S$

ولكن $f(n)=n$ يحقق المطلوب ، إذن هو الحل الوحيد في حالة $f$ كانت monotonic ... يبقى إثبات أن $f$ يجب أن تكون monotonic أو أنه لا يوجد دالة $f$ غير monotonic تحقق المطلوب ...

~ والله أعلم ~