السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الحمد لله الذى بنعمته تتم الصالحات

بحث إحتمال أن يكون البعد بين جذرين المعادلة الأتية <= 1

ع2 + أ ع + ب = صفر

حيث أ , ب عددان حقيقيان ينتميان للفترة [ 0 , 1]

مميز المعادلة يحقق المتباينة 1 >= أ2 – 4ب >= -4

أى ينتمى للفترة [ -4 , 1 ]

بناءً على ما سبق فإن جذرى المعادلة عددان حقيقيان

بشرط 1>= أ2 – 4 ب >= صفر

ويكون جذرى المعادلة عددان تخليان

بشرط 0 >= أ2 – 4 ب >= - 4

فيكون إحتمال أن يكون جذرى المعادلة حقيقيان

= النسبة بين طولى الفترتين [0,1] : [ -4 , 1 ] = 1\5

و يكون إحتمال أن يكون جذرى المعادلة تخيليان= 1 - 1\5 = 4\5

والبعد بين الجذرين = الجذر التربيعى ( أ2 - 4ب)

أولاً فى حالة الجذرين حقيقيان

فإن 1 >= أ2 – 4 ب >= 0 لجمبع قيم أ , ب التى تحقق شرط أن يكون الجذران حقيقيان

و إحتمال ذلك يساوى الواحد الصحيح لكونه حدث مؤكد لجمبع قيم أ , ب التى تجعل الجذرين حقيقيين

فيكون ح1 إحتمال أن يكون جذرى المعادلة حقيقيان والبعد بينهما <= 1 هو

ح1= 1 × 1\5 = 1\5 = 0. 2 نتيجة (1)

ثانياً فى حالة الجذران عددان مركبان مترافقان

وبفرض أن جذرى المعادلة التخيليان هما ل , م حيث

ل= س + ت ص

م = س – ت ص

س , ص عددان حقيقيان موجبان , ت2 = -1

س = -أ \ 2

ص = (جذر( 4 ب – أ2)) ÷ 2

ومع ملاحظة أن س سالبة دائما

فهما يمثلان فى المستوى التخيلى نقطتان متناظرتان حول محور السينات

مقياس البعد بينهما = | 2 ص | = جذر ( 4 ب – أ2)

واقعتان على نصف الدائرة التى معادلتها

س2 + ص2 = ب بشرط س <= صفر

وحيث أن ب تنتمى للفترة [ 0 , 1 ] فإن

جذرى المعادلة ينتميان المنطقة التى تحقق المتباينة

س2 + ص2 <= 1 بشرط أن س <= صفر

وللحصول على جذرين البعد بينهما <= 1

يجب أن تكون | ص| <= 1 \ 2

أى أن الجذران ينتميان للمنطقة المحصورة بين المستقيمان

ص <= 1 \ 2 & ص >= -1 \ 2 داخل المنطقة السابقة

مساحة هذه المنطقة م = 1 \ 2 × ( مساحة دائرة الوحدة – ضعف مساحة القطعة الدائرية

التى زاويتها المركزية 120 والواقعة فوق المستقيم ص = 1 \2)

م = 1 \ 2 × ( ط – ( 2ط \ 3 – جا 2(ط \3))) = 1 \ 2 ×(ط \ 3 + جذر(3) \ 2)

فيكون ح2 إحتمال أن يكون جذرى المعادلة تخيليان والبعد بينهما <= 1 مساوياً

ح2 = 4\5 × ( النسبة بين مساحة المنطقة م إلى نصف مساحة دائرة الوحدة )

ح2 = 4\5 × (1 \ 3 + جذر (3)\ 2 ط) = 4\5 × 0.6091 =0.48728 تقريباً نتيجة (2)

من(1) & ( 2) يكون حساب إحتمال أن يكون البعد بين جذرى المعادلة <=1

سواء كان الجذران حقيقيان أو تخيليان

ح = ح1 + ح2 = 1\5 + 4\5 × (1 \ 3 + جذر (3)\ 2 ط)

= 0.2 + 0.48728 = 0.68728

-----------------------------------

وفق الله الجميع لما يحبه ويرضاه