السؤال :

أوجد جميع الأعداد الطبيعية التي تجعل 2 ^ن + ن ²⁰⁰⁴ عددا أوليا

حل اللجنة :

ليكن ك = 2 ^ن + ن ²⁰⁰⁴

إذا كانت ن عدد زوجي ، فإن ك عدد زوجي غير أولي

إذا ن لا يمكن أن تكون زوجية

لنأخذ الحالة عندما ن عدد فردي و ليس مضاعف للعدد 3 :

ك = 2 ^ن + ن ²⁰⁰⁴

ك ≡ 2 ^ن + (ن²)¹⁰⁰² ≡ 2 + 1 ≡ 3 (mod3)

≡ 0 (mod3)

و عليه عندما ن = 1 ، ك = 3 و هو أولي

و عندما ن > 1 ، ك أكبر من 3 و غير أولي

أخيرا ، إذا كانت ن مضاعف للعدد 3 ، ن = 3 م حيث م عدد صحيح

ك = (2)^3م + (ن ⁶⁶⁸)³ و هي تقسم على 2 ^م + ن ⁶⁶⁸

و بالتالي غير أولي

الحل الوحيد هو ن = 1