الحالة العامة:

بفرض : (1) س>ع>ص>0

(2) س-ع<=س-ص

لنبرهن أن : س^1/3-ع^1/3<ع^1/3-ص^1/3


لدينا :

(س-ع)=(س^1/3-ع^1/3)(س^2/3+(س ع)^1/3+ع^2/3) ومنه:

س^1/3-ع^1/3=(س-ع)/(س^2/3+(س ع)^1/3+ع^2/3) .......(1)

(ع-ص)=(ع^1/3-ص^1/3)(ع^2/3+(ع ص)^1/3+ص^2/3) ومنه:

ع^1/3-ص^1/3=(ع-ص)/(ع^2/3+(ع ص)^1/3+ص^2/3)........(2)

بالاستفادة من الفرض:

س-ع<=ع-ص أي بسط الكسر الاول<=بسط الكسر الثاني

س>ع>ص أي مقام الكسر الاول>مقام الكسر الثاني

ومنه: الكسر الاول < الكسر الثاني

أي: س^1/3-ع^1/3<ع^1/3-ص^1/3



الحالة الخاصة:

من أجل: س=4,ع=3,ص=2

نلاحظ: (1) 4>3>2>0
(2) 4-3=3-2

اذاً نستطيع التعويض في الحالة العامة لنجد:

4^1/3-3^1/3<3^1/3-2^1/3

وهو المطلوب