منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة - اثبااات ابي المساعده بكره اختباري في مبادئ الجبر

31-10-2009, 03:34 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

لكل عنصرين : $\ a, b \in G$ :

$\ a^2=e, b^2=e , (ab)^2=e$

و عليه :

$\ (ab)^2=e =ee=a^2b^2$

بقي علينا أن نبرهن أنه $\ (ab)^2= a^2b^2$

إذا و فقط إذا a , b ابداليتان :

لنفرض أن $\ a^2b^2 = (ab)^2$

بالضرب في a^-1 من اليسار و b^-1 من اليمين :

$\ ba = a^{-1}( abab)b^{-1} = a^{-1}(a^2b^2)b^{-1}=ab$

كما هو مطلوب

و بالعكس ، إذا كانت a , b ابداليتان :

$\ (ab)^2= (ab)(ab) = (aa)(bb) = a^2b^2$