1) حل المعادلة : الجذر الخامس ل [(س-2)(س-32)]
_ الجذر الرابع ل [(س-1)(س-33)] = 1

2) حل المعادلة : الجذر الرابع ل (س-1) + 2 الجذر الثالث ل (3س+2)
= 4 + الجذر التربيعي ل (3-س)

3) أربعة أعداد صحيحة مجموع مربعاتها ضعف حاصل ضربها.
فما هي الأعداد الأربعة ؟

4) أوجد محموعة الحلول الصحيحة الموجبة للمعادلة :
(س)^2ص + (س+1)^2ص = (س+2)^2ص

5) تكامل (س ظا س) .ءس
مع تحيات GHMATH
أو جورج غالي

 

 

الى حميع الأخوة ...
لماذا لا توجد حلول للمسائل المطلوب حلها !
هل هي مسائل صعبة ؟

 

 

السؤال الأول.........حالياً............

حلان س=17-جذر(257) أو س=17+جذر(257)

طريقة الحل والباقي قريباً ان شاء الله

 

 

أعتقد أنه قد سبق وأن طرحت المسألة الأولى من قبل في المنتدى والحل موجود على هذا الرابط :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/sho...=&threadid=424


دمتم سالمين .

 

 

شكراً لك أخي عمر

 

 

السؤال الثالث:

أربعة أعداد صحيحة مجموع مربعاتها يساوي ضعف حاصل ضربها ...أوجدها



................................................

لتكن الأعداد الصحيحة س1<=س2<=س3<=س4 المحققة للعلاقة:

س1^2+س2^2+س3^2+س4^2=2س1س2س3س4............. .(*)

ولنبحث عن هذه الأعداد

الحل:

لنوجد س1 بدلالة س2,س3,س4:

لدينا من العلاقة (*):س1^2+(-2س2س3س4)س1+(س2^2+س3^2+س4^2)=0

لنستخدم المميز :

دلتا=4[(س2س3س4)^2-(س2^2+س3^2+س4^2)]

أولاً دلتا>=0 لأننا نبحث عن س1(نفترض أنها موجودة)

ثانياً دلتا هو مربع كامل لعدد صحيح (جذر(دلتا)عدد صحيح)

لأننا لو قبلنا جدلاً أن جذر (دلتا)ليس صحيحاً لكان س1 ليس عدداً صحيحاً وهذا مخالف للفرض

(حيث عندها س1=س2س3س4-جذر(س2^2+س3^2+س4^2))

ومنه(بما أن دلتا مربع كامل لعدد صحيح)نجد :

(س2س3س4)^2-(س2^2+س3^2+س4^2)=م1^2 حيث م1عدد صحيح

ومنه :

(س2س3س4)^2=(س2^2+س3^2+س4^2)+م1^2........... ...(1)

وبشكل مماثل لما سبق نجد :

(س1س3س4)^2=(س1^2+س3^2+س4^2)+م2^2........... ...(2)

(س1س2س4)^2=(س1^2+س2^2+س4^2)+م3^2........... ...(3)

(س1س2س3)^2=(س1^2+س2^2+س3^2)+م4^2........... ...(4)

الان لنثبت أن:م1^2<=م2^2<=م3^2<=م4^2

نضرب كل معادلة من المعادلات الأربعة السابقة بـ س1^2,س2^2,س3^2,س4^2 وبنفس الترتيب

نحصل على:

(س1س2س3س4)^2=(س1^2)(س2^2)+(س1^2)(س3^2)+(س 1^2)(س4^2
)+(س1^2)(م1^2)....(5)

(س1س2س3س4)^2=(س2^2)(س1^2)+(س2^2)(س3^2)+(س 2^2)(س4^2
)+(س2^2)(م2^2)....(6)

(س1س2س3س4)^2=(س3^2)(س1^2)+(س3^2)(س2^2)+(س 3^2)(س4^2
)+(س3^2)(م3^2)....(7)

(س1س2س3س4)^2=(س4^2)(س1^2)+(س4^2)(س2^2)+(س 4^2)(س3^2
)+(س4^2)(م4^2)....(8)



من(5)و(6)بالطرح: (س1^2-س2^2)(س3^2+س4^2)=(س2^2)(م2^2)-(س1^2)(م1^2)........(9)
من(6)و(7)بالطرح: (س2^2-س3^2)(س1^2+س4^2)=(س3^2)(م3^2)-(س2^2)(م2^2)........(10)
من(7)و(8)بالطرح: (س3^2-س4^2)(س1^2+س2^2)=(س4^2)(م4^2)-(س3^2)(م3^2)........(11)

الملاحظات:

من(9)الطرف الأيمن سالب لأن س1<=س2 فرضاً ومنه: (س1^2)(م1^2)<=(س2^2)(م2^2)..........(أ)
من(10)الطرف الأيمن سالب لأن س2<=س3 فرضاً ومنه: (س2^2)(م2^2)<=(س3^2)(م3^2)..........(ب)
من(11)الطرف الأيمن سالب لأن س3<=س4 فرضاً ومنه: (س3^2)(م3^2)<=(س4^2)(م4^2)..........(ج)

ومن(أ)نجد : م1<=م2
ومن(ب)نجد : م2<=م3
ومن(ج)نجد : م3<=م4

أي:م1<=م2<=م3<=م4

...............................................

من جهة أخرى:

نجمع لكل من المعادلات (1),(2),(3),(4)

س1^2,س2^2,س3^2,س4^2 وبنفس الترتيب لنجد:

(س2س3س4)^2+س1^2-م1^2=(س1^2+س2^2+س3^2+س4^2).......(1)ً

(س1س3س4)^2+س2^2-م2^2=(س1^2+س2^2+س3^2+س4^2).......(2)ً

(س1س2س4)^2+س3^2-م3^2=(س1^2+س2^2+س3^2+س4^2).......(3)ً

(س1س2س3)^2+س4^2-م4^2=(س1^2+س2^2+س3^2+س4^2).......(4)ً



من(1)ًو(2)ًبالطرح: (س2^2-س1^2)(س3^2س4^2-1)+(م2^2-م1^2)=0
من(2)ًو(3)ًبالطرح: (س1^2-س4^2)(س1^2س4^2-1)+(م3^2-م2^2)=0
من(3)ًو(4)ًبالطرح: (س4^2-س3^2)(س1^2س2^2-1)+(م24^2-م3^2)=0



وجميييييع هذه الأقواس موجبة (حسب ما سبق)اذاً

س1=س2=س3=س4=0

وهو الحل الوحيد

 

 

الأستاذ الفاضل
شكرا لمجهودك العظيم
وجزاك الله خيرا
مع تحياتي،،

 

 

شكرا على الحل

 

 

[فايز الطوالبة]

مشكوريـــــــــــــــــــ ــــن جميعا
وسنوافيكم بمسائل فيها الفائدة لاحقا ان شاءالله