اعط مثالا لدالة قابلة لللإشتقاق مالانهاية من المرات حول الصفر وعند الصفر ولكن ليس لها مفكوك تيلور حول x=0

 

 

متسلسلة تايلر :



إذا كانت جميع المشتقات موجودة عند الصفر ، يجب أن نبحث عن دالة بحيث

غير موجودة



كما ترى غير موجودة

الآن :



و تبدو ان المشتقة غير موجودة عند الصفر , لكن المشتقة :



الآن نضع : u = x^-2 و نستخدم لوبيتال :



ما هي الدالة التي عندك ؟

سؤال جميل ، أهلا بك

 

 

أشكرك على مرورك الكريم
سأضع الحل لاحقا لإتيح الفرصة للآخرين بالتفكير والبحث عن مثال
والمثال الذي وضعته هو جزء من الحل ولكن ناقص لان الدالة يجب أن تكون معرفة عند x=0

 

 

معك حق ، يجب أن تكون معرّفة عند x = 0

إذ أن يجب أن تكون متصلة عند x = 0

و هذا لا يتحقق إلا إذا قمنا بتعريف : g(0) = 0

شكرا على التعليق و بانتظار الجزء الآخر من الحل

 

 

الحل سيكون كالتالي :
عرف الدالة g(x) = 0 if x < = 0 and g(x)=e^(-1/x) if x < 0

ستجدها تحقق انها قابله للإشتقاق مالانهاية من المرات على R و ليس لها مفكوك تيلور حول الصفر
لاننا لو افترضنا وجود مفكوك تيلور لها حول الصفر فإن هذا يوصل الى تناقض
كالتالي :
g(t)=e^(-1/t)= sum ( 0 * t^k / k! ) from k=0 to infinity = 0
لان المشتقات كلها أصفار عند x=0

 

 

يمكنك جعل الأس للعدد (e) على صورة الجذر التكعيبي مثلاً للـ (x)

 

 

السلام عليكم
وبارك الله بكم على هذا الجهد العلمي المتواضع واطلب اشتقاق احدى صيغ نيوتن كوست(شبه المنحرف, النقطة الوسطى, سمبسون) في ايجاد التكامل العددي باستخدام متسلسلة تايلر. وشكراً اخوكم طالب الماجستير رياضيات عمار. (ارجو الردّ باسرع وقت)