السلام عليكم : دائما مع الجديد
هذا سؤال مقتبس من ألمبياد للرياضيات مستوى عالمي :
أ , ب عددان طبيعيان غير معدومان :
بين أنّه إذا كان :( 4أب-1) يقسم (4 ب^2 -1) فإنّ : أ = ب .

مساعدة :
1- لا حظ أنّ : (4 ب^2 -1)/( 4أب-1)= 1 + 4ب(ب-أ)/( 4أب-1)
2-أثبت أنّ ( 4أب-1) و 4ب أوليان فيما بينهما
3- استنتج المطلوب

بالتوفيق يا شطار

 

 

4ب2-1=(2ب-1)(2ب+1)
ب=1/2
ب=-1/2
بما أن 4أب-1 يقسم 4ب^2-1
فإن قيم أ = 1/2 أو -1/2

 

 

بين أنّه إذا كان :( 4أب-1) يقسم (4 ب^2 -1) فإنّ : أ = ب .


حل آخر: (باستخدام نظرية الباقي)
بما أن 4أب-1 يقسم 4ب^2-1

نوجد قيمة ب في المقسوم عليه
4أب-1=0
ب=1/4أ *
نعوض عن ب ونساويها بالصفر لأنها جذر للمقسوم
فتكون قيم أ هي 1/2,-1/2

نعوض في * أو في المقسوم =0 ونوجد قيم ب

 

 

السلام عليكم
الاجابات السابقة خاطئة فالمطلوب هو اثبات أن : أ =ب و ليس أيجادهما
حيث لا يمكن ذلك
و الأجابة الصحيحة تكون كالتالي:
لدينا (4ب^2 -1)/(4 أب -1)= 1+ 4ب(ب-أ)/(4 أب -1) ......(1)
وهذه العلاقة يمكن أثباتها بكل سهولة
اذا كان (4 أب -1) يقسم (4ب^2 -1) هذا يعني أن الطرف الأول للمساواة
(1) عدد طبيعي وبالتالي 4ب(ب-أ)/(4 أب -1) هو كذلك عدد طبيعي أي
(4 أب -1) يقسم 4ب(ب-أ)......(2)
ولكن لاحظ أن : أ*(4ب)-(4 أب -1)=1 اذن حسب نظرية بيزو
العددان 4ب , 4 أب -1 أوليان فيما بينهما
اذن حسب النتيجة (2) وحسب نظرية غوص فأن :
(4 أب -1) يقسم (ب-أ).....(3)
ولكن ب-أ<(4 أب -1) أذن حسب النتيجة (3) لا بد أن يكون ب-أ=0
أي أ=ب

 

 

نفرض أن أ لاتساوى ب اى ان أ = ك ب حيث ك ثابت لايساوى 1
4 ك ب2 - 1 تقبل القسمة على 4 ب2 - 1 وبإجراء عملية القسمة يكون الناتج
ك والباقى ك -1 ويجب ان يكون الباقى صفر اذن ك = 1 اذن أ = ب
ارجوا معرفة هل هذه الطريقة صحيحة ام لا

 

 

أنت تفترض أن : أ مضاعف ل ب و هده حالة خاصة فقط