ادخل و شغل عقلك

04-02-2008, 02:57 PM

ليكن x و y عددين حقيقيين بحيث : 2x+4y=1
بين أن X^2+y^2>1/20

04-02-2008, 04:17 PM

اليك مسالة اعم منها بين ان
$ax+by=1 \Rightarrow x^2+y^2> \frac{1}{a^2+b^2}$
ساعطيك حلا لها فيما بعد

04-02-2008, 05:28 PM

لم يظهر لي الرابط بشكل واضح

04-02-2008, 07:32 PM

عدرا
اليك المسالة و الحل
ليكن aوbوxوy اعداد حقيقية بين انه ادا كان $ax+by=1$ فان

$x^2+y^2 \geq \frac{1}{a^2+b^2}$

$ax+by=1\Rightarrow (ax)^2+2abxy+(by)^2=1^2=1$

$\Rightarrow (ax)^2+(bx)^2+(ay)^2+(by)^2=1+ (bx)^2-2abxy+(ay)^2$

$\Rightarrow (a^2+b^2)(x^2+y^2)= (bx-ay)^2+1$

بماان $(bx-ay)^2\geq0$ فان $(bx-ay)^2 +1 \geq 1$
ادن $(x^2+y^2)(a^2+b^2)\geq 1$
ومنه $x^2+y^2\geq\frac{1}{a^2+b^2}$
بالنسبة لمسالتك عوض a=2وb=4

06-02-2008, 01:02 AM

07-02-2008, 10:04 AM

ما رأيكم لو عممنا هذه المسألة إلى الأتى :

إذا كانت
$p=({a_{1}})^m ({x_{1}})^k+({a_{2}})^m ({x_{2}})^k+({a_{3}})^m({x_{3}})^k+.....+({a_{n}})^m ({x_{n}})^k$

حيث
$p,m,k, {a_{i}}$ أعداد حقيقية
و $i=1,2,..., n$ , n عدد طبيعى أكبر من 1

فاثبت أن

$({x_{1}})^{2k}+({x_{2}})^{2k}+...+({x_{n}})^{2k} \geq \frac {p^2} {({a_{1}})^{2m}+({a_{2}})^{2m}+...+({a_{n}})^{2m}}$

09-02-2008, 03:50 PM

حسب متفاوتة Cauchy Schwarz
$((a_1^m)^2+...+(a_n^m)^2)((x_1^k)^2+...+(x_n^k)^2)\geq(a_1^mx_1^k+...+a_n^mx_n^k)^2$
ومنه نستنتج المطلوب
ملحوضة
لم ارد تطبيق متفاوتة Cauchy Schwarz في مسالة الاخ رضى لانه لم يدرسها بعد

10-02-2008, 08:50 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]

حسب متفاوتة Cauchy Schwarz
$((a_1^m)^2+...+(a_n^m)^2)((x_1^k)^2+...+(x_n^k)^2)\geq(a_1^mx_1^k+...+a_n^mx_n^k)^2$
ومنه نستنتج المطلوب
ملحوضة
لم ارد تطبيق متفاوتة Cauchy Schwarz في مسالة الاخ رضى لانه لم يدرسها بعد

أحسنت يا أستاذ ياسين
هذا ما قصدته بالفعل، لماذا لم تستخدم متباينة Cauchy Schwarz ؟ ويبدو
أنك لماح فهمت ما أعنيه .

الآن دعنا نعمم هذه المسألة أكثر :
إذا كانت
$p= a_1^mx_1^k+...+a_n^mx_n^k$

فاثبت أن
$\sum_{i=1}^n |x_{i}|^{kr} \geq \frac { p^{\frac{r}{r-1}}} {( \sum_{i=1}^n |a_{i}|^{\frac {mr}{r-1}})^{r-1}$

حيث m , p , q , r أعداد حقيقية و p أكبر من الصفر و r أكبر من 1


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة