منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

07-02-2009, 12:58 PM

() تعني العامل المشترك الأكبر ، [] تعني المضاعف المشترك الأصغر.
المسألة تكافئ:

$(a,b,c)^2 [a,b][b,c][c,a] = [a,b,c]^2(a,b)(b,c)(c,a)$

إذا حللنا الاعداد إلى عواملها الأولية فإن العامل المشترك الأكبر يعني أصغر أس لكل عامل أولي ، و المضاعف المشترك الأصغر يعني أكبر أس.

بفرض أن $\alpha_i, \beta_i , \gamma_i$ تعني أس العامل الأولي رقم $i$ للأعداد $a,b,c$ على الترتيب. نجد أن المسألة تكافئ أيضا:

$2 \min(\alpha_i, \beta_i, \gamma_i) + \max(\alpha_i, \beta_i) + \max(\beta_i, \gamma_i) + \max(\gamma_i, \alpha_i) = 2 \max(\alpha_i, \beta_i, \gamma_i) + \min(\alpha_i, \beta_i) + \min(\beta_i, \gamma_i) + \min(\gamma_i, \alpha_i)$

وبدون فقد لعمومية المسالة نفرض أن : $\alpha_i \le \beta_i \le \gamma_i$ . بالتالي : فإن كلا الطرفين متساويين و كل منهما يساوي $2\alpha_i + \beta_i + 2\gamma_i.$ وهو المطلوب.

والله أعلم.