السؤال الـ 24 من لجنة الحكم

ليكن ( ح ) منحنى معادلته : ص = د (س)

حيث د (س) كثيرة حدود لها على الاقّل جذر حقيقي واحد س₀ لا يساوي الصفر .

أثبت أنه يوجد نقطة على المنحنى ( ح ) مختلفة عن ( س₀ ، 0 )

بحيث تكون مسافتها من ( 0 ، 0 ) تساوي | س₀ |

| س₀ | = القيمة المطلقة لـ س₀

بالتوفيق للجميع

 

 

السلام عليكم
نفرض ان المنحنى له جذر واحد اذن معادلته د(س)= اس+ب
حيث ا و ب ثوابت
المستقيم لابد ان يكون مائلا يمينا او يسارا
ولايمكن ان يوازى محور الصادات لانه لن يكون دالة في س
نفرض دائرة مركزها نقطة الاصل وطول نصف قطرها س0
المعادلة لهذة الدائرة
س^2+ص^2=س0^2
نحل المعادلتين معا بعد تربيع معادلة الدرجة الاولى
ص^2=ا2س^ 2+2 اس ب+ب^2
بنتج معادلة من الدرجة الثانية
لها حلان
احدهما معرف وهو س0 لان كل من الدائرة والمستقيم يمر بنفس النقطة
اذن المميز للمعادلة موجب لان الجذر الاول حقيقي موجب
اذن بوجد حل اخر وبالتالي يتقاطعا في نقطتين
وبما ان النقطة على الدائرة
اذن لها نفس المسافة عن المركز
ثانبا نفرض ان الدالة من الدرجة الثانية
د(س)=اس2+ب س+ج
نربع المعادلة
ثم نحلها مع معادلة الدائرة
ينتج معادلة من الدرجة الرابعة
يمكن ان تكون لها اربع حلول تخبلبة او حقيقيه
ولكن احد الجذور س0 حقيقي اذن يوجد على الاقل جذر اخر حقيقي يحقق المعادلة
اذن يوجد على الاقل نقطتين على نفس البعد
ثم نفس الوضع مع منحنى الدرجة الثلثة ينتج معادلة من 6 جذور احدها حقيقي اذن يوجد على الاقل جذر اخر حقيقي
لانها ستكون معادلات كل منها من الدرجة الثانية
وهكذ كل المعادلات الناتجة ستكون من درجة زوجية الرتبه
وبالتالى يوجد على الاقل نقطتى تقاع مع الدائره
اذن يوجد نقطتين على الاقل لكل منحنيات كثيرة الحدود

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الحمد لله الذى بنعمته تتم الصالحات

يمكن إعادة صياغة السؤال كالتالى

إذا كان المنحنى (ح) لكثيرة الحدود ص = د(س) يقطع محور السينات

عند النقطة (س0 , 0 ) فإنه يشترك مع الدائرة التى معادلتها

س^2 + ص^2 = س0^2 فى نقطة أخرى خلاف النقطة ( س0,0)

أى أن المنحنى (ح) لكثيرة الحدود لا يمس منحنى الدائرة المذكورة عند النقطة ( س0,0)

أى لا يوجد مماس مشترك للمنحنيان عند هذه النقطة

وحيث أن مماس الدائرة عند هذه النقطة غبر معرف ( الدائرة غير قابلة للإشتقاق عندها)

وهذا غير ممكن لكثيرة الحدود (لأنها قابلة دائما للإشتقاق فى مجالها)

مما يؤكد أن مماس الدائرة عند هذه النقطة غير مطابق للمماس كثيرة الحدود عند هذه النقطة

وحيث أنهما يشتركان فى النقطة (س0,0) وغبر متمسان عندها

فهما متقاطعان فى نقطة أخرى على الأقل

شكرا لكم

 

 

الحلول مقبولة رغم انها ممكن أن تكتب بشكل أوضح

أشرف محمد : 3 نقاط

استاذ الرياضيات : 1 نقطة

السؤال الـ 21 :

استاذ الرياضيات : 2 نقطة (حل غير مكتمل)

و عليه تكون النتيجة :

• محمد الزواوي : 22

• استاذ الرياضيات : 19

• أشرف محمد : 18

• هابي1967: 11

• القالـــــــــع : 4

• إمام مسلم : 3

• حســــــام : 3

• ناصــــــر : 2

• الغـــــــــول : 2

• الفارس الأول: 2

• حسام محمد : 2

• المنـقــــذ : 1

ترقبوا السؤال الـ 25 و الاخير اليوم مساء كالعادة

 

 

حل اللجنة