النهايات الكبرى والصغرى

أولاً : النقطة الحرجة(الرجوع) ونقط الانقلاب على منحنى

في الشكل الآتي :


يمثل الخط البياني دالة في س حيث تزداد الدالة بزيادة قيمة س في ] أ ، ب [ في حين تنقص الدالة بزيادة قيمة س في ] ب ، د [ وتزداد الدالة بزيادة قيمة س في ] د ، حـ [ وهكذا في حين تكون الدالة مساوية للصفر عند ب ، د ومساوية المالانهاية عند حـ أي عندها الدالة تتوقف عن الزيادة أو النقص وهذه النقط تسمى نقاط حرجة أو نقط رجوع ويجب ملاحظة هنا أن المماس عند أي نقطة قبل في ] ب ، د [ يصنع زاوية حادة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات في حين يكون في ] ب ، د [ المماس يصنع زاوية منفرجة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات ونعلم بأن الميل هو ظل الزاوية ولذا تكون إشارة المشتقة الأولى موجبة للزاوية الحادة لكون ظلها موجب وسالبة للزاوية المنفرجة لكون الظل سالب كما مبين بالشكل ويستفاد هنا بأن الدالة متزيدة في ] أ ، ب [ و المشتقة موجبة وهذا يعني بأن المشتقة الأولى موجبة فالدالة متزايدة وإن كانت المشتقة سالبة فالدالة تناقصية فإن كانت المشتقة الأولى صفراً فالدالة ثابتة، ومن المعلوم بأن الدالة متزايدة هي تلك الدالة التي تحقق لكل أ > ب يكون د(أ) > د(ب) والدالة التناقصية يكون لكل أ > ب يكون د(أ) < د(ب) وهو ما يعرف باطراد الدالة .

تعريف :

نقطة الرجوع(الحرجة) هي نقطة تفصل بين الجزأين المتزايد والمتناقص من منحنى دالة. ( ص¯ = صفر )

النهاية الكبرى(العظمى) عند نقطة على منحى عندها المشتقة الأولى صفر وتتغير إشارتها من + (قبلها) إلى – (بعدها) .

النهاية الصغرى عند نقطة على منحى عندها المشتقة الأولى صفر وتتغير إشارتها من – (قبلها) إلى + (بعدها) .

نقطة الانقلاب هي نقطة تفصل بين تقوسين في اتجاهين مختلفين مثل نقطة ل ولا تتغير إشارة المشتقة الأولى عندها. (المشتقة الثانية = 0 ) أو هي النقطة التي ينقلب انحناء المنحنى عندها من أعلى لأسفل أو العكس مثل نقطة حـ ، هـ (في الشكل التالي) أو النقطة التي يتغير عندها إشارة المشتقة الثانية من موجب إلى سالب أو العكس وهذا يعني أن المشتقة الثانية عندها تساوي صفر ومجمل القول هنا بأن نقطة الانقلاب لا تعنى المشتقة الثانية عندها تساوي الصفر بل يجب أيضاً تغير إشارة المشتقة الثانية من موجب إلى سالب أو العكس

تنبيهات :

- للحصول على نقط الرجوع نضع المشتقة الأولى = صفر

- النهاية العظمى لدالة لا تعني بأن قيمتها هي أكبر قيمة.

- عند اختيار قيمة قبل نقطة الرجوع يجب اختيارها قريباً جداً من نقطة الرجوع قبل أو بعد.

- عند نقطة الرجوع يقع المنحى في جهة واحدة من المماس. ( انظر الشكل )

- عند نقطة الانقلاب يقع المنحنى في جهتي المماس. ( انظر الشكل )

- تتغير الدالة من تزايد إلى تناقص أو العكس عند نقط الرجوع.

- المماسات عن نقط الرجوع أو عند نقط النهايات العظمى والصغرى تكون موازية لمحور السينات .

مثال (1)

أوجد نقط النهايات العظمى والصغرى ونقط الانقلاب للدالة : د(س) = س3 – 6 س2 + 9 س – 1

الحـل :

د¯(س) = 3 س2 – 12 س + 9 باشتقاق د(س)

صفر = 3 س2 – 12 س + 9 بوضع د¯(س) = صفر

صفر = س2 – 4 س + 3 من القسمة على 3

صفر = ( س – 1 )( س – 3 ) بتحليل المقدار الثلاثي

س = 1 ، س = 3 ناتج كل قوس بعد مساواته بالصفر وإشارة الدالة بين الجذرين عكس إشارة س2 ونفسها خلاف ذلك .

ص = د(1) = 3 ، ص = د(3) = – 1 من التعويض في الدالة المعطاة

النقطتان ( 1 ، 3 ) ، ( 3 ، – 1 ) حرجتان

عند س = 1

د¯(0.9) = 3 × 0.81 – 12 × 0.9 + 9 = 2.43 – 10.8 + 9 = كمية موجبة

د¯(1.1) = 3 × 1.21 – 12 × 1.1 + 9 = 3.63 – 13.2 + 9 = كمية سالبة

( 1 ، 3 ) نقطة رجوع عظمى

عند س = 3

د¯(2.9) = 3 × 8.41 – 12 × 2.9 + 9 = 25.23 – 34.8 + 9 = كمية سالبة

د¯(3.1) = 3 × 9.61 – 12 × 3.1 + 9 = 28.83 – 37.2 + 9 = كمية موجبة

( 3 ، 1 ) نقطة رجوع صغرى

د=(س) = 6 س – 12

صفر = 6 س – 12

س = 2

ص = د(2) = 8 – 6 × 4 + 9 × 2 – 1 = 8 – 24 + 18 – 1 = 1

( 2 ، 1 ) نقطة انقلاب




--------------------------------------------------------------------------------

مثال (2)

الدالة ص = 2 س3 ليس لها نقاط صغرى أو عظمى محلية لأن

ص¯ = 6 س2 هي دالة موجبة دوماً في حين توجد نقطة رجوع

ص¯ = صفر فإن س = صفر إذن ( 0 ، 0 ) نقطة رجوع




--------------------------------------------------------------------------------



المشتقة الأولى تعطي ميل المنحنى عند أي نقطة عليه وهي معدل تغير ص بالنسبة إلى س وعند نقطة الرجوع(نهاية عظمى) تكون مساوية للصفر فتكون موجبة قبلها وسالبة بعدها مع الزيادة في س فإذا بحثنا معدل تغير ص¯ بالنسبة إلى س عند مرورنا بالنهاية العظمى فالنقط قبلها ذات ميل موجب متناقصة للصفر عندها ثم سالبة للنقط التي بعدها أي أن معدل تغير ص¯ سالب أي المشتقة الثانية سالبة(انحناء المنحنى إلى أسفل أو المنحنى مقعر لأسفل وهو ما يعرف بالتقويس) وبالمثل عند مرورنا بالنهاية الصغرى نجد المشتقة الثانية موجبة(انحناء المنحنى إلى أعلى أو المنحنى مقعر لأعلى وهو ما يعرف بالتقويس) فلذا يكون استخدام المشتقة الثانية للتعرف على النهايات العظمى والصغرى أسهل من استخدام عملية التعويض قبل وبعد النقطة.


--------------------------------------------------------------------------------



مثال :

أوجد نقط الرجوع (نهاية صغرى أو عظمى) وكذلك نقط الانقلاب للمنحنى ص = س3 – 9 س2 + 15 س + 10

الحل :

ص¯ = 3 س2 – 18 س + 15 ........... (1)

بوضع ص¯ = صفر

3 س2 – 18 س + 15 = 0 بالقسمة على 3

س2 – 6 س + 5 = 0

( س – 1)( س – 5) = 0

س = 1 ، س = 5 عندها نقاط حرجة وبالتعويض في (1)

ص = 17 ، ص = – 15

(1 ، 17) ، ( 5 ، – 15 ) النقاط الحرجة

ص// = 6 س – 18

ص// = 0 فإن س = 3 عندها نقطة انقلاب

س = 3 فإن ص = 1

( 3 ، 1 ) نقطة انقلاب

بحث النهايات العظمى والصغرى

عند النقطة (1 ، 17 ) تكون ص// = 6 × 1 – 18 = كمية سالبة ، توجد نهاية عظمى

عند النقطة (5 ، – 15) تكون ص// = 6 × 5 – 18 = كمية موجبة ، توجد نهاية صغرى


--------------------------------------------------------------------------------



مثال آخر :

أوجد مواضع وقيم النهايات الكبرى والصغرى للدالة ص = 2 حا س + 3 حتا س

الحـل :

ص¯ = 2 حتا س – 3 حا س

صفر = 2 حتا س – 3 حا س بالقسمة على حتا س نحصل على

طا س = 2 ÷ 3 = 0.6667

س = ن ط + 33.69 ، ن عدد صحيح

ص// = – 2 حا س – 3 حتا س

ص// = – ( 2 حا س + 3 حتا س )

باعتبار ن = 0 أو أي عدد زوجي

عند س = ن ط + 33.69 تكون ص// = كمية سالبة (لاحظ الزاوية تقع في الربع الأول)

للدالة نهايات عظمى لقيم س = ن ط + 33.69 حيث ن عدد صحيح زوجي وقيم كل منها

ص = 2حا(ن ط + 33.69) + 2 حتا(ن ط + 33.69)

ص = 2حا(33.69) + 2 حتا( 33.69)

ص = 3.6

باعتبار ن عدد فردي

عند س = ن ط + 33.69 تكون

ص// = – ( 2 حا ن ط + 33.69 + 3 حتا ن ط + 33.69 )

ص// = – ( 2 × – 0.555 + 3 × – 0.832) لاحظ الزاوية في الربع الثالث

ص// = كمية موجبة

للدالة نهايات صغرى عند س = ن ط + 33.69 حيث ن عدد صحيح فردي

وقيم كل منها

ص = 2حا(ن ط + 33.69) + 2 حتا(ن ط + 33.69)

ص = –2 حا 33.69 – 3 حتا 33.69

ص = – 3.6


--------------------------------------------------------------------------------



تمرين 1

أوجد النهاية الصغرى للدالة 2 ص = هـ3س + 5 هـ–3س

تمرين 2

إذا كانت ص = س–1لـوهـس فأثبت أن ص تأخذ قيمة نهاية عظمى عند س = هـ (هـ = 2.718)


--------------------------------------------------------------------------------

لاتنسونا من صالح الدعاء

 

 

بارك الله فيك
وجزاك خيرا لحرصك على الإفادة.
وفقك الله ... ،

 

 

شكرا وجزاك الله خير