م. من أ.البلطيق (02)

23-04-2008, 11:12 PM

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته.
بين أنه لكل a و b و c أعداد حقيقية موجبة قطعا, لدينا:

24-04-2008, 02:04 AM

لكي نكون في الصورة فقد بينت ان

${\frac{2a}{a^2+bc}+\frac{2b}{b^2+ac}+\frac{2c}{c^2+ab}\le\frac{1}{sqrt{ ab}}+\frac{1}{sqrt{ bc}}+\frac{1}{sqrt {ac}}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}}$

24-04-2008, 06:45 PM

لدينا ${\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\geq 2sqrt{\frac{ab}{abc^2}}\\\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\geq \frac{2}{c}}$

و بالمتل نجد ان ${\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{2}{a}}$
و ${\frac{c}{ab}+\frac{a}{bc}\geq \frac{2}{b}}$

بجمع المتفاوتات نجد ان ${2(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\huge{\frac{c}{ab})\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}$

ادن ${\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\huge{\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

و بنفس الطريقة و باستعمال متفاوتة الوسط الحسابي الهندسي نتوصل الى ان

${\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\huge{\frac{1}{c}\geq \frac{1}{sqrt{ab}}+\frac{1}{sqrt{bc}}+\frac{1}{sqrt{ca}}}$

في الاخير
لدينا حسب الوسك الحسابي -الهندسي $a^2+bc\geq2a sqrt{bc}$

${\Rightarrow \frac{a^2+bc}{2a}\geq sqrt{bc}}$

${\Rightarrow \frac{2a}{a^2+bc}\le \frac{1}{sqrt{bc}}}$

الاخرى بالمتل ${\Rightarrow \frac{2b}{b^2+ac}\le \frac{1}{sqrt{ac}}}$

${\Rightarrow \frac{2c}{c^2+ab}\le \frac{1}{sqrt{ab}}}$

بجمع المتفاوتات كرف بطرف نجد

${\Rightarrow \frac{2a}{a^2+bc}+\frac{2b}{b^2+ac}+\frac{2c}{c^2+ab}\le \frac{1}{sqrt{ab}}+\frac{1}{sqrt{bc}}+\frac{1}{sqrt{ac}}}$

و من المتفاوتات السابقة نستنتج المتفاوتة البلطيقية الجميلة

${ \frac{2a}{a^2+bc}+\frac{2b}{b^2+ac}+\frac{2c}{c^2+ab}\le \frac{a}{{bc}}+\frac{b}{{ac}}+\frac{c}{{ab}}}$

26-04-2008, 10:58 PM

السلام عليكم و رحمة الله.
حركات جميلة و حل أجمل.
شكرا لك أخ ياسين.

28-04-2008, 10:50 PM

بارك الله فيك اخي الكريم

28-04-2008, 11:35 PM

هذا التمرين ... سبق عرضه .. خلال الأسبوع الحالي .. !!!!

29-04-2008, 03:21 AM

ممكن رابط الموضوع


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة