فى اى مثلث أ ب جـ اثبت ان
جتاأ + جتا ب + جتاجـ <= 3/2

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة على حسين خلف [ مشاهدة المشاركة ]

فى اى مثلث أ ب جـ اثبت ان جتاأ + جتا ب + جتاجـ <= 3/2

لدي حل طويل حبتين ولكن اعتقد أنه سهل ...

الحل بالمرفق

 

 

تم إرفاق الملف بنجاح أخيراً

 

 

تنويه : كل علامه < فى الحل ستعنى اصغر من أو يساوى
نعلم أن :
1) 0 < جتا الزاويه الحاده < 1
2) جتا ج = 1 - 2 جا^2 (ج/2)
3) جتا أ +جتا ب = 2 جتا[(أ + ب)/2] جتا[(أ - ب)/2]
4) جتا( 90 - ج) =جا ج


أ+ ب + ج = 180
(أ + ب)/2 = 90 - ج/2
جتا[(أ + ب)/2] = جا (ج/2)
جتا[(أ + ب)/2] جتا[(أ - ب)/2] < جا(ج/2)................من (1)
بالضرب فى 2 وإضافة جتا ج للطرفين
2 جتا[(أ + ب)/2]جتا[(أ - ب)/2]+ جتا ج < 2 جا(ج/2) +جتا ج
الطرف الأيمن فى المتباينه السابقه = جتا أ +جتا ب +جتا ج ........من (3)
جتا أ +جتا ب +جتا ج < جا(ج/2) +جتا ج
جتا أ +جتا ب +جتا ج < 2 جا(ج/2) +1 -2جا^2 (ج/2) .........من (2)
بفرض أن س = جا(ج/2) , ص = 2 جا(ج/2) +1 -2جا^2 (ج/2)
ص = -2 س^2 +2 س + 1
ص عباره عن داله تربيعيه الإحداثى السينى لرأس المنحنى الى يمثلها بيانيا = 1/2 ومنها ص =3/2
المنحنى مفتوح لأسفل اى أن النقطه (1/2 , 3/2) هىنقطة نهايه عظمى
إذن ص <3/2
2 جا(ج/2) +1 -2جا^2 (ج/2) < 3/2
جتا أ +جتا ب +جتا ج < 3/2

 

 

جتا ج = - جتا (أ + ب) = - جتا أ جتا ب + جا أ جا ب

الآن:

3 - 2 (جتا أ + جتا ب + جتا ج) = (جا أ - جا ب)^2 + (جتا أ+ جتا ب - 1 )^2 <= 0

وينتج المطلوب.

(الحل من أحد الكتب Topics in Inequalities - Theorems and Techniques
Ho joo Lee
)

 

 

استاذى الكريم/mathson :
1) أرجو توضيح الخطوه الثانيه (3 - 2 (جتا أ + جتا ب + جتا ج) = (جا أ - جا ب)^2 + (جتا أ+ جتا ب - 1 )^2 <= 0

2) الطرف الايسر((جا أ - جا ب)^2 + (جتا أ+ جتا ب - 1 )^2 ) مجموع مربعين كيف يكون أصغر من الصفر

 

 

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mohey [ مشاهدة المشاركة ]

حل رائع استاذ /محى
ارجو اثبات اول خطوه فى الحل

 

 

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mohey [ مشاهدة المشاركة ]

أنت ضربت طرفي المتراجحة بالمقدار 2 جتا [ ( ب + ج ) / 2 ]

مالذي يضمن أن المقدار موجب بحيث لم تتغير المتراجحة .

انتظر الرد ,,,