حلول تمارين
فى
المتتابعات الحسابية والهندسية

 

 

تمرين ( 1 )

متتابعه حسابيه فيها
ح(س+1) = م ، ح(ص+1)= ك ، ح(ع+1)= ى
اثبت ان
م( ص-ع) +ك(ع- س)+ى(س- ص) =0


نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
إذن :
م = أ + س د
ك = أ + ص د
ى = أ + ع د

م( ص-ع) + ك(ع- س)+ ى(س- ص) =
= (أ + س د)(ص - ع) + (أ + ص د)(ع - س) + (أ + ع د)(س - ص)
= أ[ ص - ع + ع - س + س - ص] + د[ س ص - س ع + ص ع - س ص + س ع - ص ع] = أ × 0 + د × 0 = 0
حيث أ ، د لا تساويان الصفر

 

 

تمرين ( 2 )

متتابعة غير تقليدية
( 2/ 9 ، 9 ، 2/ 3 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0000000)
اذا كان مجموع عدد فردى من تللك الحدود = 283 /3
فما عدد حدودها ؟

المتسلسلة هى متتابعتين هندسيتين :

الأولى : 2 /9 ، 2 /3 ، 2 ، 6 ، 18 ، 45 ، ....
حدها الأول = 2 / 9
الأساس = 3

الثانية : 9 ، 3 ، 1 ، 1 /3 / 1/9 ، ...
حدها الأول = 9
الأساس = 1 /3

نفرض أن عدد الحدود الفردية = 2 ن + 1
فيكون :
عدد الحدود من المتتابعة الأولى = ن + 1
عدد الحدود من المتتابعة الثانية = ن

283 /3 = [ 2 /9 ( 3^{ن + 1} - 1 ) ] / [ 3 - 1 ] + [ 9 ( 1 - (1 /3)^ن) ] / [ 1 - (1 /3) ]

وهى معادلة من الدرجة الثانية فى المتغير 3^ن
وبحلها بالقانون العام ــــ> 3^ن = 243 ، ومنها : ن = 5

فيكون عدد حدود المتسلسلة = 2 ن + 1 = 11 حدا

للتحقق :

عدد حدود المتتابعة الهندسية الأولى = ن + 1 = 6
مجموعها = [ 2 /9 ( 3^6 - 1 ) ] / [ 3 - 1 ] = 728 / 9

عدد حدود المتتابعة الهندسية الثانية = ن = 5
مجموعها = [ 9 ( 1 - ( 1/3)^5 ) ] / [ 1 - ( 1 /3 ) ] = 121 /9

اجمالى المجموع = 728 /9 + 121 /9 = 849 /9 = 283 /3

 

 

تمرين ( 3 )

متتابعة غير تقليدية
( 3 ، 18 ، س ، 1 ، 12 ، 1/ 2 س ، 1/ 3 ، 8 ، 1/ 4 س ، 0000000 )
اذا كان مجموعها الى اللانهاية = 23.5
فما قيمة س ؟


المتسلسلة تتكون من حدود ثلاثة متتابعات هندسية لانهائية

الأولى : 3 ، 1 ، 1 /3 ، ....
حدها الأول = 3
الأساس = 1 /3
مجموعها= 3 / (1 - (1 /3)) = 4.5

الثانية : 18 ، 12 ، 8 ، ...
حدها الأول = 18
الأساس = 2 /3
مجموعها = 18 / [ 1 - (2 /3) ] = 54

الثالثة : س ، س /2 ، س /4 ، ...
حدها الأول = س
الأساس = 1 /2
مجموعها = س / [ 1 - (1 /2) ] = 2 س

23.5 = 4.5 + 54 + 2 س

ومنها : س = - 17.5

 

 

تمرين ( 4 )

ح(ن) متتابعة حسابية
ح(6) = 16 ، ح(20) = - 26
أوجد المتتابعة
ثم أوجد مجموع 20 حدا الأولى منها


نفرض أن :
الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ
الأساس = د

ح(6) = أ + 5 د ................... (1)
ح(20) = أ + 19 د ................... (2)
بحل المعادلتين جبريا ، ينتج أن :
د = - 3 ، أ = 31
وتكون المتتابعة : 31 ، 28 ، 25 ، ...

مجموع 20 حدا الأولى = 20 /10 [ 2 × 31 + 19 × - 3 ] = 50

 

 

تمرين ( 5 )

أربعة أعداد تكون متتابعة حسابية مجموعها 32
الحد الرابع يزيد عن الحد الثانى بمقدار 4
أوجد هذه الأعداد ؟

نفرض أن الأعداد هى : أ ، (أ + د) ، (أ + 2 د) ، (أ + 3 د)

(أ + 3 د) - (أ + د) = 4 ...... ، ومنها : د = 2
4 أ + 6 د = 32 ................ ، ومنها : أ = 5
وتكون الأعداد هى : 5 ، 7 ، 9 ، 11