التوزيع الإحصائي الطبيعي

توزيع متصل له شكل الناقوس.

تتساوى فيه مقاييس النزعة المركزية الوسط والوسيط والمنوال.

متماثل حول وسطه (صفر).

الانحراف المعياري له يساوي الواحد الصحيح.

طرفاه يمتدان إلى مالا نهاية دون أن يلتقيا المحور الأفقي.

المساحة أسفله وفوق المحور الأفقي تساوي الواحد الصحيح.

معياري بمعنى أنه يمكن مقارنة أشياء مختلفة.

الالتواء و التفلطح صفر.

يحمل نسب متساوية وثابتة من الوسط فجهة اليمين (يمين الوسط) موجبه ويسارها سالبه.

كافة الملاحظات المذكورة هي خارج الحل وللتوضيح بدل من ذكر أمثلة أخرى



مثال(2) مثال(3) مثال(4) مثال(5) مثال(6) مثال(7) مثال(8) مثال(9) مثال(10)

مثال(1):

احسب المساحة المحصورة بين i– 2.14 , 1.54والواقعة تحت منحنى التوزيع الطبيعي والمبينة بالشكل المرفق.

الحـل:

نعلم أن العدد i1.54يقابله في جدول Z قيمة المساحة الواقعة يساره وكذلك العدد i– 2.14 تقابله مساحة في جدول Z والفرق بين المساحتين يعطينا المساحة المطلوبة.

مع ملاحظة حسابنا للقيمة السالبة بموجبها مطروح من الواحد الصحيح.

العدد المساحة
1.54 0.9382
– 2.14 1 – 0.9838 = 0.0162



المساحة المطلوبة = i0.9382 – 0.0162

= i0.9220

أو بجمع القيم الجدولية للقيمتين مباشرة بحذف 0.5 من قيمها الجدولية أي

المساحة المطلوبة = i0.4382 + 0.4838

= i0.9220

تنويه: جدول z يقرأ المساحة على يسار العدد وعليه نقول

المساحة على يمين العدد 1.54 = 1 – 0.9832 = 0.0168

المساحة على يمين العدد صفر هي 0.5


--------------------------------------------------------------------------------

مثال(2):

احسب المساحة بين Z = – 1.5 , Z = – 0.43

الحـل:

المساحة المطلوبة = المساحة على يسار –0.43 مطروحاً منها المساحة على يسار –1.5

= (1 – 0.6664) – (1 – 0.9332)

= 0.3336 – 0.0668

= 0.2668

أو

P(– 0.43 > Z > – 1.5)= [1– P(Z < 0.43)] – [1 – P(Z < 1.5)]

= (1 – 0.6664) – (1 – 0.9332)

= 0.3336 – 0.0668

= 0.2668


--------------------------------------------------------------------------------

مثال(3):

احسب المساحة بين Z = 1.5 , Z = 0.43

الحـل:

المساحة المطلوبة = المساحة على يسار1.5 مطروحاً منها المساحة على يسار0.43

= 0.9332 – 0.6664

= 0.2668

أو

P( 0.43 < Z < 1.5)= P(Z < 1.5) – P(Z < 0.43)

= 0.9332 – 0.6664

= 0.2668






--------------------------------------------------------------------------------

مثال(4):

إذا كانت مجموعة مكونة من 400 عضو في نادي تتوزع توزيعاً طبيعياً في العمر بمعدل 40 سنة بانحراف معياري قدره 5 فاحسب:

1) عدد الأعضاء الذين أعمارهم بين 35 إلى 45 سنة.

2) عدد الأعضاء الذين أعمارهم أقل من 50

3) عدد الأعضاء الذين أعمارهم أقل من 35 واكبر من 45

الحـل:

1) نحسب قيمة Z من القانون للعمر 35:

Z = ( X – μ ) ÷ σ = ( 35 – 40) ÷ 5 = – 1

القيمة الجدولية المقابلة للعدد – 1 (المساحة ) هي 1– 0.8413 = 0.1587

" لاحظ عدد الأعضاء هنا = 0.1587 × 400 ≈ 64 "

" لاحظ أن العدد 0.1587 هو احتمال عمر العضو أقل من 35 سنة "

" لاحظ مساحة المنطقة الصفراء A = 0.5 – 0.1587 = 0.3413 "

نحسب قيمة Z من القانون للعمر 45:

Z = ( X – μ ) ÷ σ = ( 45 – 40) ÷ 5 = 1

القيمة الجدولية المقابلة للعدد 1(المساحة )