الاسطوانة الدائرية القائمة
تعريف :

الاسطوانة الدائرية القائمة : هي منشور قائم كل من قاعدتيه المتوازيتين منطقة دائرية .

المساحة الجانبية للاسطوانة الدائرية القائمة
تدريب : أحضر اسطوانة دائرية قائمة مفرغة بدون قاعدتين من ورق الكرتون نصف قطرها نق وقم بقطعها باتجاه طولها , ثم قم بإفرادها ما الشكل الناتج؟ احسب مساحته .

تسمى المساحة الناتجة بالمساحة الجانبية للاسطوانة الدائرية القائمة .

مما سبق نستنتج ما يلي :

المساحة الجانبية للاسطوانة = محيط القاعدة×الارتفاع

المساحة الجانبية للاسطوانة = 2 ∏ ×نق×ع

حيث أن :∏ هي النسبة التقريبية وتساوي 22/7 أو 14¸ 3 , نق طول نصف قطر القاعدة, ع ارتفاع الاسطوانة .

مثال : اسطوانة دائرية قائمة طول قطرها 8 سم وارتفاعها 14 سم . احسب المساحة الجانبية لها .

الحل :

نق=4 سم , ع= 14 سم

المساحة الجانبية للاسطوانة = 2 ∏ نق ع

= 2×22/7×4×14

= 352 سم2
المساحة الكلية للاسطوانة

تدريب : أحضر اسطوانة دائرية قائمة مفرغة وبقاعدتين من ورق الكرتون ثم قم بقصها طولياً مع فصل القاعدتين
تعريف

نستنتج مما سبق أن :

المساحة الكلية للاسطوانة = المساحة الجانبية + ضعف مساحة القاعدة

= 2∏نق×ع + 2∏نق2

= 2∏نق(ع+نق)
مثال : اسطوانة معدنية مفرغة مغلقة من طرفيها , ارتفاعها 35 سم , و نصف قطرها21 سم . أوجد مساحتها الكلية بالمتر المربع مقرباً الناتج لأقرب عدد صحيح . ( ∏ = 22/7)

الحل:
المساحة الكلية للاسطوانة = 2∏نق( ع+نق )

= 2×22/7×21×( 35+21)

= 7392 سم2

= 7329¸. م2

≈ 1 م2
حجم الاسطوانة

من دراستك السابقة تعلم أن حجم الجسم هو كمية الفراغ التي يشغلها الجسم ويقاس بوحدات الأطوال المكعبة ( م3 , سم3 , لتر , ...)

تدريب : احسب حجم الأشكال التالية : مكعب طول ضلعه 10 مم – متوازي مستطيلات أبعاده 8 , 5 , 3) سم.

وبما أن حجم المنشور القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع

وحيث أن الاسطوانة منشور دائري قائم فإن :

حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع

= ∏نق2×ع لماذا ؟

مثال : اسطوانة دائرية قائمة طول قطر قاعدتها 84 سم , وارتفاعها 21 سم .

احسب حجمها بالأمتار المكعبة .

الحل :-

حجم الاسطوانة = ∏نق2×ع

= 22/7×42×42×21

= 116424 سم3 .

=12¸. م3 تقريباً

تمارين
) خزان ماء ارتفاعه 3 ¸6 م , وطول قطر قاعدته 4¸ 2 م يراد طلاؤه من الخارج بدهان , يتكلف المتر المربع منه 5¸ . ريال

احسب تكلفة دهان الخزان ؟ علماً بأن ∏ = 14¸ 3

3 ) اسطوانة دائرية قائمة طول قطر قاعدتها 14 سم , ومساحتها الكلية 748 سم2 . احسب :

أ) ارتفاع الاسطوانة .

ب) حجم الاسطوانة .

4 ) صهريج على شكل اسطوانة دائرية قائمة طول نصف قطر قاعدتها من الداخل 4 ¸ 1 م وارتفاعها 5 م , و مستودع على شكل شبه مكعب أبعاده : 9م , 10م , 4¸15 م

أيّهما أكبر حجماً : المستودع أم الصهريج ؟ ( ∏ = 14¸ 3)



5) أوجد حجم علبة صفيح اسطوانية الشكل وبدون غطاء باللترات , وارتفاعها 30 سم , ونصف قطر قاعدتها 7 سم , ثم احسب المساحة الكلية .

ثانياً :

اختر الإجابة الصحيحة من الإجابات المعطاة فيما يلي :
(1) نصف محيط اسطوانة دائرية قائمة طول نصف قطر قاعدتها يساوي

(أ) 14 سم (ب) 22 سم (جـ) 36 سم (د) 44 سم

(2) مساحة قاعدتي اسطوانة دائرية قائمة طول قطر قاعدتها 10 سم يساوي :

(أ) 100 سم2 (ب) 157 سم2 (جـ) 314 سم2 (د) 628 سم2

(3) اسطوانة دائرية قائمة مفرغة ذات قاعدتين فإن مساحتها الكلية تساوي :

(أ) 2∏نق×ل (ب) 2∏نق×ل + 2∏نق2 (جـ) 2∏نق2×ل (د) 2∏نق×ل+نق2

(4) حجم علبة صفيح اسطوانية الشكل , ارتفاعها 30 سم , وقطر قاعدتها 14 سم يساوي :

(أ) 62 ¸4لتر (ب) 2 ¸ 46لتر (جـ) 462 لتر (د) 4620 لتر

الدرس الثاني : المنشور القائم
المساحة الجانبية والمساحة الكلية للمنشور الثلاثي القائم
تعريف :

المساحة الجانبية للمنشور الثلاثي القائم= محيط القاعدة × الارتفاع

المساحة الكلية للمنشور الثلاثي القائم = المساحة الجانبية + ضعف مساحة القاعدة .

مثال : منشور ثلاثي قاعدته على شكل مثلث أبعاده : 3 سم , 4 سم 5سم وارتفاعه 6 سم . احسب :

المساحة الجانبية للمنشور .

المساحة الكلية للمنشور .
الحل :

المساحة الجانبية للمنشور = محيط القاعدة × الارتفاع



= ( 3+4+5 ) × 6

= 72 سم2 .

مساحة القاعدة = ½ القاعدة × الارتفاع

= ½ ×3×4

= 6 سم2

المساحة الكلية للمنشور = المساحة الجانبية + 2×مساحة القاعدة

= 72 + 2×6

= 84 سم2

( 2-3 ) حجم المنشور الثلاثي القائم

تعلمت أن حجم المنشور المنشور القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع

على هذا يكون :

حجم المنشور الثلاثي القائم = مساحة قاعدته المثلثة × الارتفاع

مثال (1) : احسب حجم منشور ثلاثي قائم قاعدته مثلث قائم الزاوية , أبعاده : 30 سم , 40 سم , 50 سم , وارتفاعه 60 سم .

الحل :-

حجم المنشور = ½×30×40×60

= 3600 سم3

مثال (2) : منشور ثلاثي قائم مساحة قاعدته 4800 سم2 , وحجمه 9600 سم3 . أوجد ارتفاعه .

الحل : حجم المنشور الثلاثي القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع

9600 = 4800×ع

ع = 9600/4800 = 2 سم

تمارين ( 2-2 )

(1) أ ب جـ أب جـ منشور ثلاثي قائم قاعدته سطح مثلث وفيها : ق(ب) = 90 , أأ=25 سم , أ ب = 35 سم ,ب جـ = 12 سم , أ جـ = 37 سم . أوجد :

(أ‌) المساحة الكلية للمنشور .

(ب‌) حجم المنشور .

(2) أكمل الفراغات التالية :

(أ‌) قاعدتا المنشور متوازيتين و..................

(ب‌) كل وجه جانبي في المنشور المائل هو عبارة عن منطقة...............

(جـ) كل وجه في المنشور القائم هو عبارة عن منطقة.................

(د) من الحالات الخاصة للمنشور القائم .....................

(هـ) منشور ثلاثي قائم مساحة قاعدته 30 سم2 , وارتفاعه 10 سم , فإن حجمه يساوي.............

(3) س ص ع س ص ع منشور ثلاثي قائم ارتفاعه 30 سم , ومساحته الجانبية 1440 سم2 , وقاعدته مثلث متطابق الضلعين , طول كل منهما 15 سم , وارتفاع القاعدة 12 سم أوجد :

(أ) طول س ع , (ب) مساحة الوجهين الجانبيين المتطابقين (جـ) مساحة الوجه الجانبي الثالث للمنشور .


تمارين عامة
) اسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها 15 سم , وطول نصف قطر قاعدتها 2 ¸4سم.

أوجد :

(أ) حجمها (ب) مساحتها الكلية ¸



3) اسطوانة دائرية قائمة مساحتها الجانبية 132 سم2 , وطول قطر قاعدتها 12 سم . أوجد : حجمها .



4 ) خزان على شكل اسطوانة دائرية قائمة نصف قطر قاعدتها من الخارج 3 م , وارتفاعها 8 م .

احسب :

(أ) المساحة الكلية للخزان (ب) حجم الخزان ( حيث ∏ = 14¸ 3)
6*) أنبوبة اسطوانية الشكل طول قطر قاعدتها 14 مم , وارتفاعها 8 سم , وضع بها 20 قرصاً من الدواء فوق بعضها البعض فامتلأت تماماً . أوجد :

(أ) حجم القرص الواحد من الدواء . (ب) ارتفاع الأقراص

5) منشور ثلاثي قائم طول كل من أحرفه الجانبية 30 سم , ومساحته الكلية 2736 سم2 , إذا كانت قاعدته منطقة مثلثة متطابقة الأضلاع طول ضلعه 24 سم . أوجد :

(أ) المساحة الجانبية .

(ب) حجم المنشور .

6*) أنبوبة اسطوانية الشكل طول قطر قاعدتها 14 مم , وارتفاعها 8 سم , وضع بها 20 قرصاً من الدواء فوق بعضها البعض فامتلأت تماماً . أوجد :

(أ) حجم القرص الواحد من الدواء . (ب) ارتفاع الأقراص .

7) منشور ثلاثي قائم طول كل من أحرفه الجانبية 30 سم , ومساحته الكلية 2736 سم2 , إذا كانت قاعدته منطقة مثلثة متطابقة الأضلاع طول ضلعه 24 سم . أوجد :

(أ) المساحة الجانبية .

(ب) حجم المنشور .

إجابة تمارين الدرس الأول
) المساحة الكلية للاسطوانة = 56.52 م2

تكلفة دهان الخزان = 5¸0× 56.52

= 28.260 ريالاً

(3) (أ) نق= 7 سم , مساحة القاعدة = 154 سم2

المساحة الجانبية = 7481 _ 308 = 440 سم2

ֶ 2 ∏ نق ع = 440 ← ع= 10 سم

(ب) حجم الاسطوانة = 220 سم3

(4) حجم الصهريج = 30.772 م3

حجم المستودع = 1386 م3

من هنا المستودع أكبر حجماً من الصهريج , ونحتاج 45 صهريجاً تقريباً لملء المستودع .

(5) الحجم = 4620 سم3

=4.62 لتراً

المساحة الكلية = 1474 سم3 لماذا ؟

ثانياً :

المفردة
1 ( جـ )

2 ( ب )

3 ( ب )

4 ( أ )



إجابة تمارين الدرس الثاني
(1) : (أ) المساحة الكلية للمنشور = 2520 سم2

(ب) حجم المنشور = 5250 سم3

(2) إكمال الفراغات :

المفردة
1
2
3
4
5

الإجابة
متطابقتين
متوازي أضلاع
مستطيلة
المكعب-شبه المكعب-الاسطوانة
312 سم3
(3) : (أ) س ع = 18 سم

( إرشاد : المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع ,

محيط القاعدة = مجموع أطوال أضلاع القاعدة )

(ب) مساحة الوجهين الجانبيين المتطابقين = 2×( 30×15) = 900سم2

(جـ) مساحة الوجه الجانبي الثالث = 540 سم2