تطبيقات حساب التفاضل

النقط الحرجة :

وتعتبر النقط الحرجة من الأساسيات في هذا الباب ، حيث تعتمد عليها جميع الموضوعات .

تعريفها : هي النقط التي تكون عندها المشتقة تساوي صفرا ، أو تكون غير معرفة .

الدوال المطردة :

هي عملية تحديد فترات التزايد والتناقص للدالة على مجالها .

الطريقة :

* نوجد مجال الدالة
++++ نوجد مشتقة الدالة ثم نوجد أصفارها ومواضع عدم تعريفها .

++++* نحدد اشارة مشتقة الدالة دَ(س) على خط الأعداد ثم نقرر مايلي :

إذا كانت الإشارة موجبة + فإنها متزايدة وإذا كانت سالبة - فإنها متناقصة .

تمرين : ابحث اطراد الدالة : د(س) = س2 - 6س + 4 على مجالها ؟ .

الحل : الدالة متزايدة في ]- ∞ ، 3] ، وتزايدية في [3 ، ∞[ .

القيم العظمى والصغرى المحلية :

نظرية هامة : كل قيمة قصوى محلية هي نقطة حرجة والعكس غير صحيح .

نوجد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة عن طريق تصنيف النقط الحرجة بطريقتين :

1- اختبار المشتقة الأولى : وذلك بتقسيم خط الأعداد بالنقط الحرجة ، ثم ندرس تغير اشارة دَ(س)

ثم نلاحظ التغير :

- إذا كان من تزايد ( + ) إلى تناقص ( - ) فيكون عند هذه النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية للدالة .

- وإذا كان من تناقص إلى تزايد فعندها يكون للدالة قيمة صغرى محلية .

- وإذا كانت اشارة دَ لم تتغير على خط الأعداد حول النقطة الحرجة (من + إلى + ، أو من - إلى - ) فإنها ليست قصوى محلية .

2- اختبار المشتقة الثانية :

لتكن جـ نقطة حرجة للدالة د :

- إذا كانت دً(ج) موجبة فإنها قيمة صغرى محلية للدالة.

- إذا كانت دً(ج) سالبة فإنها قيمة عظمى محلية للدالة .

- إذا كانت دً(ج) = 0 أو غير معرفة فإن اختبار دً فاشل ، وعندها نستخدم اختبار المشتقة الأولى .

تمرين : أوجد القيم القصوى المحلية للدالة : د(س) = 12 + 2س2 - س4 .
التقعر ونقط الانقلاب :

متى نقول عن دالة د بأنها مقعرة لأعلى أو لأسفل ؟

* نقول أنها مقعرة لأعلى في الفترة ]أ ، ب[ إذا كان المنحنى واقعا فوق مماساته في الفترة .

* نقول أنها مقعرة لأسفل في ]أ ، ب[ إذا كان المنحنى واقعا تحت مماساته في الفترة .

ماهي نقط الانقلاب (الانعطاف) ؟ .

هي نقطة من مجال الدالة يتغير حولها التقعر .

كيف تبحث التقعر ونقط الانقلاب ؟ .

1- نوجد المجال .

2- نوجد المشتقة الثانية دً(س) ، ومنها نوجد أصفارها ونقط عدم وجودها .

3- نبحث اشارة دً على خط الاعداد ونقرر ما يلي :

* إذا كانت موجبة (+) فإن المنحنى مقعر لأعلى ، وإذا كانت سالبة فإنه مقعر لأسفل .

4- عندما يحدث تغير في التقعر من أعلى لأسفل أو العكس فإنها نقطة انقلاب .

تمرين :حدد تقعر منحنى الدالة د(س) = س3 - 6س2 + 2س -3 ، ثم أوجد نقط الانقلاب ؟ .

الحل : المنحنى مقعر لأعلى في [2 ، ∞[ ، ومقعر لأسفل في ]- ∞ ، 2] ، ونقطة الانقلاب هي (2 ، -15) . عليك تفصيل خطوات الحل في خط الاعداد .

رسم المنحنيات (كثيرات الحدود) :

عزيزي الطالب اجعل رسم المنحنيات أمرا سهلا ولا تصعب عليك الأمور وهي سهلة ، هناك خطوات أساسية تضمن لك رسم المنحنى بدقة وجميعها تعتمد على المواضيع السابقة .

خطوات رسم المنحنى لدالة :

1- دراسة الدالة من حيث :

* تحديد المجال .

++++ التناظر : إذا كانت د(-س) = د(س) فإن الدالة زوجية إذن المنحنى متماثل حول محورص .

إذا كانت د(-س) = - د(س) فإن الدالة فردية ، إذن المنحنى متماثل حول نقطة الأصل .

++++* التقاطع : مع محور ص 000 نضع س = 0 ثم نعوض بالدالة ، أي (د(0) ، 0) .

مع محور س 000نضع ص = 0 ثم نحل المعادلة ونوجد قيم س ونعوض بالدالة .

2- دراسة مشتقة الدالة دَ من حيث : الاطراد والقيم القصوى المحلية (تصنيف النقط الحرجة) .

3- دراسة المشتقة الثانية للدالة دً من حيث التقعر ونقط الانقلاب .

4- يمكن أن تحتاج لنقط مساعدة لإكمال رسم المنحنى .

تمرين : ارسم منحنى الدالة التالية مع التفصيل : د(س) = 6س2 - س4 - 5