مفاهيم رياضية(2) : ثابت التكامل

20-08-2007, 11:44 PM

السلام عليكم ،

من المعلوم انه ممكن ان يكون للتكامل أكثر من جواب و لكنهم واحد(أو يختلفون

في عدد ثابت ) بعد التلاعب بالقواعد ، لإزاحة الغموض حول ثابت التكامل لننظر إلى المثال التالي:

يمكن حل هذا التكامل البسيط بطريقتين و هنا تظهر المشكلة :

الطريقة الأولى باستخدام قاعدة التكامل مباشرة :

$\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}}= \frac{1}{2}ln\left|x \right|+ C$

الطريقة الثانية باستخدام التعويض t = 2x , dt = 2 dx

$\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t}}= \frac{1}{2}ln\left|t \right|+ K = \frac{1}{2}ln\left|2x \right|+K$

هل ترون المشكلة الآن ، قمنا بتكامل نفس الدالة و حصلنا على جوابين

مختلفين ، كيف ذلك ؟

لاحظوا أولا أن استخدام طريقتين لا يعني ان الثابت واحد و لذلك استخدمت

ثابتين مختلفين : C , K

لنأخذ ثانيا الجواب الثاني ، باستخدام قواعد اللوغاريتمات :

$\frac{1}{2}ln\left|2x \right|+K = \frac{1}{2}(ln2 + ln\left|x \right|)+K=\frac{1}{2}ln\left|x \right|+\frac{1}{2}ln2 + K$

لاحظوا أن الجوابين ليسا مختلفين على الإطلاق ، في الحقيقة هما يفرقان

عن بعضهما في ثابت ، حيث يمكن استنباط العلاقة :

و هذا عائد للقاعدة التالية :

إذا كان لدالتين مشتقة واحدة فإنهما يختلفان عن بعضهما بعدد ثابت :

و هذا بالضبط ما حصل ، الدالتان :

$\frac{1}{2}ln\left|2x \right|, \frac{1}{2}ln\left|x \right|$

لهما نفس المشتقة بالضبط

و عليه استخدام عدة طرق في حل نفس التكامل قد

يعطي ثوابت تكامل مختلفة (و في بعض الاحيان نفس الثابت)

مثال آخر $\int{sinx cosx dx}$

الطريقة الاولى

باستخدام العلاقة : $sin2x = 2sinxcosx$

$\int{sinx cosx dx}= \frac{1}{2}\int{sin2x dx}= \frac{-1}{4}cos2x + c_{1}$

الطريقة الثانية

باستخدام التعويض : u = cosx , du = - sinx dx

$\int{sinx cosx dx}= - \int{u du}= \frac{-u^2}{2} + c_{2}= \frac{-1}{2} cos^2 x+ c_{2}$

الطريقة الثالثة

باستخدام التعويض مرة أخرى : u = sinx , du = cosx dx

$\int{sinx cosx dx}=\int{u du}= \frac{u^2}{2} + c_{3}= \frac{1}{2}sin^2 x+ c_{3}$

إذن حصلنا على ثلاثة أجوبة و لكننا نعلم أنها تختلف بـ ثابت لأن لها نفس

المشتقة ، لرؤية ذلك نحتاج لبعض التلاعب بالقواعد :

لنبدأ بالجواب الأول :

بما أن : cos2x = cos² x - sin² x

$\frac{-1}{4}cos2x + c_{1}= \frac{-1}{4}(cos^2 x - sin^2 x)+ c_{1}$

الآن نستبدل : sin² x = 1 - cos² x

يصبح الجواب :

$\frac{-1}{4}(cos^2 x - (1-cos^2 x)+ c_{1}= \frac{-1}{4}(2cos^2 x -1)+c_{1}= \frac{-1}{2}cos^2 x + \frac{1}{4}+ c_{1}$

بالمقارنة مع الجواب الثاني ، نجد أن :

$c_{2}= \frac{1}{4}+c_{1}$

بإمكاننا عمل نفس الشيء لربط الجوابين الاول و الثالث :

$\frac{-1}{4}cos2x + c_{1}= \frac{-1}{4}(cos^2 x - sin^2 x)+ c_{1}$

الآن نستبدل : cos² x = 1 - sin² x

يصبح الجواب :

$\frac{-1}{4}(1-sin^2 x - sin^2 x) + c_{1}= \frac{-1}{4}(1 - 2sin^2 x)+c_{1}= \frac{1}{2}sin^2 x + \frac{-1}{4}+ c_{1}$

بالمقارنة مع الجواب الثالث ، نجد أن :

$c_{3}= \frac{-1}{4}+c_{1}$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة