سؤال المثلث

نعتبر المثلث ا ب ج فيه ا د منصف للزاوية ا

نعتبر

ا ب =س
ا ج =ص
ا د = ن
ب د =ل
د ج =م

للتسهيل
المطلوب يصبح
ن² =س ص - م ل



البرهان


جتا ا د ج =(ن²+ م² -ص²)\2ن م
جتا ا د ب=(ن ²+ل²+س² )\2ل ن

ولكن الزاويتان متكاملتان

جتا الاولى = - جتا الثانية

بالمساواة وحذف 2ن من المقامات والضرب في ل ن لطرفين

ل ن² + ل م² - ل ص²= -م ن² -م ل² +م س²

ن ²(ل+م) + م ل (م + ل)=ل ص² +م س ²

(م+ل )(ن² + م ل) =ل ص² +م س ²

ن² + م ل=(ل ص² +م س ² )÷(م+ل )


الان نحاول اثبات ان المقدار
الايسر = حاصل ضرب طولا ضلعى المثلث
= س ص


بما ان المنصف اد ينصف زاوية ا

س \ص =ل\ م

س م = ل ص

بالتعويض في


(ل ص² +م س ² )\(م+ل )

=(ل ص ص + م س س)\(م+ل)
=(س م ص +ل ص س)\(م+ل)

=س ص (م +ل )\(م+ل)=س ص

اذن

ن² =س ص - م ل


------------------------------------------------

 

 

u=x-1
i= sqrt-1



ولكن نستخدم

u-1/u=t^2


u=1/(1-t^2) so

du=2t/(1-t^2)^2








so



تعديل بسيط
,واناتج الاخير امامه اشارة سالبه
للضرب بسطا ومقاما في i

 

 

حل المعادلة

اولا س لا يمكن ان تكون سالبة
لا الدالة الاسية دائما موجبة حتى اذا كان الاس سالبا

ولكن اذا كان س سالبة فان ناتج الجمع لايمكن ان يساوى


عدد موجب 4

س> او =0

وايضا لايمكن ان تساوى الصفر لوجود 1 على س

اذن س>0


واضح ان الحل =1

الوسط الحسابى اكبر من او يساوى الهندسى

س(2)^1\س +1\س (2)^س≥2 (جذر(2)^(س+1\س))


ولكن معروف ان س +1\س≥2

اذن ما بداخل الجذر لابد ان يساوى 4 لان الناتج النهائى 2 في جذر 4

اذن
2^(س+1\س)=2^2
س+1\س =2

س^2-2س +1 =0

س =1

وكل ما هو اكبر من 1 سيجعل الناج يزيد عن 4

وبالمثل ما هو اصغر من 1 لن يصل الى 4

 

 

2007^2007

(2000 +7)^2007

من مفكوك ذات الحدين

جميع الحدود بها على الاقل ثلاثة اصفار من البداية


ماعد الحد الاخير 7^2007


ولكن

7^1=7

7^2=49
7^3=343

7^4=2401

7 ^5=16807


7^6 = 151249

اعداد الاحاد
07 ثم 49 ثم 43 ثم 01 ثم تبدا تتكرر
07 ثم49 ثم 43 ثم 01

عند الحدود ا و 5 و9 العددان 07

عند الحدود2و6و10و.... العددان 49

عند الحدود 3و 7 و و11 و...العددان43


عند الحدود 4و8و12و...العددان 01

كل من الحدود تكون متتالية حسابية اساسها 4

الحد الذي يساوى 2007

يتحقق فقط مع المتوالية التى حدها الاول 3

لان 2007-1 لاتقبل على 4

2007 -2 لاتقبل على 4

2007 -3 تقبل على 4

2007 -4 لاتقبل على 4

اذن العددان الاخيران 43

 

 

د(س) =ا س2+ب س +ج

د(1)= ا+ب+ج=ق


د(2)= 4 ا + 2 ب + ج=ك

د(3) = 9 ا+ 3 ب + ج = م


د(م) = ا م2 +ب م + ج

د(ك) = ا ك2 + ب ك + ج


د(ق)=ا ق2 + ب ق +ج

ولكن الثلاثة متساوية

د(م) - د (ق)=0

ا م2 +ب م + ج- ا ك2 -ب ك - ج

=ا(م - ق)(م+ق) +ب(م-ق)=0

(م - ق)( ا(م+ق) +ب )=0 -----------------1

بالمثل

(م- ك)(ا(م+ك) +ب)= 0 ------------2

(ك -ق )(ا(ك -ق) +ب )=0 ----- ---3

من الاولي

م- ق =0

4ا +ب=0

ب = - 4ا

بالتعويض في الجزء الثانى من 2 مثلا

(ا(م+ك) +ب)= 0


ا (5ا +3 ب +2 ج) +ب =0

ا(5 ا -12 ا +2ج )-4 ا =0

بالقسمة على ا لا يساوى صفر

-7 ا +2 ج -4 =0

ج = 7 ا\2 +2

ويمكن اختيار قيمة للعددا تقبل القسمة على 2

مث 2 او 4 او 6

عند ا=2

ج =1+7 =8

ب =-8

 

 

النتيجة :

س1 = 4 نقاط

س2 = 4 نقاط

س3 = 4 نقاط

س4 = 4 نقاط

س5 = 3.5 نقطة