قابلية القسمة ( Divisibility )

تعريف 1.1 يكون العدد الصحيح ب قابلا للقسمة(Divisible) على العدد الصحيح أ (أ لا يساوي الصفر) ، إذا وجد عددا صحيحا ك بحيث:
ب = أ × ك و نكتبها ب | أ ( a | b )

a | b : b = ax for some x , a , b and x are integers and a is not zero



ملحوظة : عندما نستخدم أحد التعبيرين : " قابل للقسمة" أو " يقسم على"


نعني أنه يقسم عليه بدون باقي.

أمثلة : 10 | 2 لأن 10 = 2 × 5

0 | 20 لأن 0 = 0 2× 0

من الواضح أننا لا نستطيع وضع الصفر على الجهة اليسار

يمكننا التعبير عن قابلية القسمة ( Divisibility ) بلغة أخرى :



ب| أ : أ هو قاسم ( Divides) للعدد ب و أ هي عامل ( Divisor ) من عوامل ب

و ب هي مضاعف ( Multiple ) للعدد أ

مثال : 20| 5 :

20 تقسم ( Divisible) على 5
5 قاسم ( Divides ) للعدد 20
5 عاملا (Divisor ) للعدد 20
20 مضاعف (Multiple ) للعدد 5



..

.

 

 

نظرية 1.1

(1) ب | أ تعطي ب جـ | أ لأي جـ عدد صحيح

(2) ب | أ و جـ | ب تعطي جـ | أ

(3) ب | أ و جـ | أ تعطي ب س + جـ ص | أ لأي س و ص أعداد صحيحة

(4) ب | أ و أ | ب تعطي أ = +- ب

(5) إذا كان العددين أ و ب صحيحين موجبين و كان ب | أ يكون أ ب

(بمعنى آخر ب هو الأكبر بين قواسمه )



..

.

 

 

البرهان :

(1) ب | أ ، إذا يوجد ك عدد صحيح بشرط ب = أ × ك

بضرب الطرفين بـ جـ : ب جـ = أ × (ك جـ) ، ك جـ عدد صحيح لتكن كَ = ك جـ

إذا ب جـ = أ × كَ و منها ب جـ | أ

(2) متروكة للقارىء

(3) ب | أ و جـ | أ تعطي ب = أ × ك و جـ = أ × كَ

إذا



ب س + جـ ص = ( أك )س + ( أكَ ) ص = أ( ك س ) + أ ( كَ ص )

ب س + جـ ص = أ ( ك س + كَ ص ) و منها ب س + جـ ص | أ

لأنها تساوي أ مضروبة بالعدد الصحيح ( ك س + كَ ص )

( 4) ب | أ تعني ب = أ × ك أ




..
.

 

 

حقائق :

(1) العدد الصحيح الزوجي نعبّر عنه بالشكل 2 ك


و العدد الصحيح الفردي نعبّر عنه بالشكل 2 ك + 1 ، حيث ك عدد صحيح

(2) عندما نقسم عددا صحيحا على 3 يكون باقي القسمة أحد الأعداد


0 ، 1 ، 2 . ينتج عن ذلك أي عدد صحيح يمكن كتابته على الشكل (ك عدد صحيح) :

3 ك ، 12 = 3 × 4
3ك + 1 ، 22 = 3 × 7 + 1
3ك + 2 ، 32 = 3 × 10 + 2



و أكثر من ذلك ، خذ أي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ، أحدهم يجب أن يقسم على 3 .


السبب : أي عدد صحيح يمكن كتابته على الشكل :

3ك أو 3ك + 1 أو 3ك + 2 و كما ترى هي متتالية و أحدها 3ك يقسم على 3




..

.