جد مساحة المنطقة المحددة في كل من الحالات التالية :
1- داخل r=2+cosθ وخارج r=3 .
2- بين r=2 θ .
3- داخل ورقة واحدة من منحنى r=sin3 θ .
4- داخل r=sin θ وخارج r=cos θ .
س2/ أوجد متجه وحدة يوازي المستوى المحدد بالمتجهين
3i-2j+k
i+j-2k
ويعامد المتجه 2i+2j-k

 

 

أوجد متجه وحدة يوازي المستوى المحدد بالمتجهين
3i-2j+k U
i+j-2k V
ويعامد المتجه 2i+2j-k R

ليكون المتجه U موازيا للمتجهين
(1 ، -2 ، 3 ) V و ( -2 ، 1 ، 1 ) W
يجب أن يكون عمودي على المتجه N العمودي على المستوى Perpendicular to the Normal to the Plane
و يمكن الحصول على N بعمل الضرب الإتجاهي للمتجهين V و W
N = V x W
Cross Product
و يتم ذلك بايجاد قيمة المحدد :
1 - 2 3
-2 1 1

نغطي العمود الأول :
1 - 2
-2 1
= 3

نغطي العمود الثاني و نأخذ عكس إشارة الناتج :
1 3
-2 1
= 7
نغطي العمود الثالث :
-2 3
1 1
= 5

إذن : (5 ، 7 ، 3 ) N
أصبحت المسألة الآن : نريد U عمودي على كل من R و N
و هو الضرب الإتجاهي Cross Product :
U = R x N
(5 ، 7 ، 3 ) N و ( -1 ، 2 ، 2 ) R
باستخدام نفس الطريقة أعلاه ، نجد أن :
(8 ، -13 ، 17 ) U
و لكنه ليس متجه وحدة لأن : | U | لا تساوي 1
ولذلك نقوم بـ: Normalizing it :
و ذلك بقسمته على | R x N | =| (8 ، -13 ، 17 |
| R x N | = الجذر التربيعي لـ: 17 ^2 + ( -13 )^2 + 8^2
= الجذر التربيعي لـ 522
( 8/ج ت 522 ، -13 / ج ت 522 ، 17 / ج ت 17 ) U
حيث ج ت = الجذر التربيعي