متفاوتة جميلة من اولمبياد امريكا

12-04-2009, 05:04 AM

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

متفاوتة من United States of America Mathematical Olympiad لسنة 2003

$x$ و $y$ و $z$ اعداد حقيقية موجبة قطعا ، بين ان :

$\frac{(2x+y+z)^2}{2x^2+(y+z)^2 }+ \frac{(2y+z+x)^2}{2y^2+(z+x)^2 }+\frac{(2z+x+y)^2}{2z^2+(x+y)^2 }\le 8$

12-04-2009, 05:40 PM

بالفعل رائعة و صعبة، وقد أخذت الكثير من الوقت

لاحظ أن

$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq\frac{4}{3}\cdot\frac{4a+b+c}{a+b+c}$

وذلك لأنها تكافئ

$(2a-b-c)^2(5a+b+c)\geq0.$

بالتالي:

$\sum_{cyc}\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq\sum_{cyc}\left(\frac{4}{3}\cdot\frac{4a+b+c}{a+b+c}\right)=8.$

12-04-2009, 07:30 PM

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته

شكرا لك اخي mathson على الحل الجميل ،

هل يوجد برهان اخر للمتفاوتة التي طرحتها اخي mathson باستعمال احد المبرهنات ؟


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة