ابتداء، و قد علمنا أن هندسة لوباتشيفسكي تتفق مع هندسة إقليدس في خمسة مسلمات من أصل ستة، فهما لا تختلفان إلا بالمسلمة الخامسة، فيمكن لنا أن نستنتج أن كافة النظريات التي يمكن لنا البرهان عليها من دون استخدام المسلمة الخامسة هي نظريات الهندسة "المطلقة"، فهي صحيحة في هندسة إقليدس و هي صحيحة أيضا في هندسة لوباتشيفسكي. فمثلا: كل النظريات الهندسية التي تعتمد في برهانها على مسلمات الحركة هي من نظريات الهندسة المطلقة (و أذكر هنا أن إقليدس استخدم مسلمات الحركة من دون أن يصرح بها). مثالنا على هذه النظريات هي حالات تساوي المثلثات... مثال: النظرية رقم 4 لإقليدس إن تساوى في مثلثين ضلعان و الزاوية المحصورة بينهما تساوى المثلثان.برهان هذه النظرية يتم عن طريق تحريك أحد المثلثين حتى ينطبق أحد ضلعيه إياهما على الضلع المساوي له في المثلث الآخر، ثم قلب المثلث أي عدد من المرات حتى تنطبق الزاوية المعنية على الزاوية المقابلة لها في المثلث الآخر، و استنتاج أن الضلع الثاني في هذه الزاوية ينطبق حتما على الضلع المقابل له في الثلث الآخر، و منه استنتاج تطابق المثلثين نتيجة تطابق الرؤوس الثلاثة. .. .

 

 

	مثال آخر: على هذا الرابط قدمت مثالا عن برهان لتساوي زاويتي القاعدة في المثلث متساوي الساقين، و هو برهان لا يعتمد إلا مسلمات الحركة و نظريات تطابق المثلثات، فهو إذن صحيح في هندسة لوباتشيفسكي. فإن انتقلنا للنظرية رقم 16 لإقليدس، و هي أيضا صحيحة في نظرية لوباتشيفسكي، نجدها و برهانها كما يلي: من بين نظريات الهندسة المطلقة التي تهمنا هي حالات الإنشاء الهندسي: جميعنا تعلمنا في المدرسة كيف ننشئ باستخدام المسطرة و الفرجار كثيرا من الأشياء: منصف الزاوية، العمود من نقطة على مستقيم، إلخ.. سأستعرض فيما يلي أحد هذه الإنشاءات الهندسية، و هو النظرية رقم 23 لإقليدس، لكني سأحله بطريقة مختلفة عن طريقة إقليدس، ذلك أن طريقتي أبسط من طريقته. من أين تأتي صحة هذا الإنشاء؟ صحة هذا الإنشاء تأتي من تعريف الزاوية: الزاوية (مقاسة بالراديان) تعريفا هي نسبة طول القوس الذي تحدده في دائرة لطول نصف القطر.و من ثم نضيف: في دائرة واحدة (أو في دائرتين متساويتين) الأوتار المتساوية تحدد أقواسا متساوية.فنرى أن الإنشاء الهندسي هو نظرية لها كل مقومات النظرية و تحتاجبرهانا كغيرها من النظريات!فأصل الآن للنظرية رقم 27 لإقليدس، و هي نظرية العكس للمسلمة الخامسة. توطئة عن "نظرية العكس": نظرية العكس لنظرية رياضية لا تعني أن نقول عكس ما تقوله هذه النظرية، لكنها تعني أن نسير من النتائج للمقدمات..فمثلا، حين أقول: "الرجال يتزوجون النساء"، فنظرية العكس هي "النساء يتزوجن الرجال"، و كما نلاحظ فكلتاهما صحيحة (يعني في الحالة العامة ) .. .

 

 

	نعيد التذكير بالمسلمة الخامسة: "إن قطع مستقيم مستقيمان بحيث يكون مجموع الزاويتين الداخليتين الناجمتين في نفس الجهة من المستقيم إياه أصغر من قائمتين، فإن المستقيمين المقطوعين، حين يتم تمديدهما بما فيه الكفاية من هذه الجهة نفسها، سيتقاطعان" صياغتها المبسطة هي: إن قطع مستقيم مستقيمين متوازيين، كانت الزاويتان الداخليتان متكاملتين.و منه، نظرية العكس، و هي النظرية رقم 27 لإقليدس، تقول: إن قطع مستقيم مستقيمين، و كانت الزاويتان الداخليتان متكاملتان، كان المستقيمين متوازيان. بإيجاز: المسلمة الخامسة: مستقيمان متوازيان => زاويتين داخليتين متكاملتين. النظرية 27: زاويتان داخليتان متكاملتان => مستقيمين متوازيين . هذه النظرية أيضا تنتمي للهندسة المطلقة، ذلك أن برهانها الذي سنورده لاحقا لا يعتمد على المسلمة الخامسة. كون هذه النظرية هي نظرية في الهندسة المطلقة له أهميته: فهو يثبت وجود مستقيم مواز واحد على الأقل يمكن رسمه من نقطة خارج مستقيم، و البرهان بسيط: من النقطة التي تعنينا نرسم قاطعا للمستقيم، ثم ننشئ من النقطة نفسها، على المستقيم القاطع، و بالإتجاه المخالف، ننشئ زاوية تساوي الزاوية الناجمة عن تقاطع المستقيمين كما شاهدنا في النظرية رقم 23، فنحصل على مستقيم مواز لمستقيمنا... و بالإضافة لذلك، نستنتج مجددا أن هندسة ريمان تتناقض مع الهندسة المطلقة: ففي هندسة ريمان الفرضية الأساسية هي استحالة رسم أي مستقيم مواز... و قد برهنا للتو على إمكانية ذلك! .. .

 

 

	أنا أعرف عن المسلمة الخامسة لإقليدس أن أول لقاء لي بها كان في كتاب الهندسة بتاع صف الثامن، و قد قدمت على أنها "مسلمة إقليدس"، هكذا، بالحرف!يعني كما لو لم يكن لإقليدس من مسلمات سواها، فواعجبي! و أعجب من ذلك هو أن هذه المسلمة، كما وردت في كتاب الهندسة إياه، و نصها هو: "من نقطة خارج مستقيم يمكن رسم مواز واحد لهذا المستقيم"، هاذي ليست مسلمة إقليدس كما كتبها بخط يده! هذه مسلمة مكافئة و يعود الفضل بصياغتها لجون بلايفير (John Playfair)! لكن أكثر ما أزعجني هو تقديمها هكذا و القول: "و نسلم بها من دون برهان"، لماذا؟ ثم من هم هؤلاء الذين يسلمون بها من دون برهان؟أنا مثلا لا أرغب أن أسلم بها من دون برهان! و ما زاد الطين بلبلة هو كتاب الفلسفة للصف الحادي عشر، يعني الثاني الثانوي -على ما أظن-: ففي هذا الكتاب عرض للهندسات اللاإقليدية (أي الهندسات التي تختلف مع الهندسة الإقليدية، تختلف عنها تحديدا برفضها لهذه المسلمة)، فراح كتاب الفلسفة إياه يتحدث عن "هندسة لوباتشيفسكي" و عن "هندسة ريمان"، كما لو كانتا مكافئتين لهندسة إقليدس، فواعجبي!لا بل و راح هذا الكتاب يشرح أن هذه الهندسات تنطبق على سطح كرة أو على سطح كسرج الحصان، فواسخريتي ! استمرت حيرتي و بحثي عن فهم هذه القضية حتى تمكنت، بعد جهد جهيد، من إدراك العلاقة التي تربط هذه الهندسات ببعضها البعض، و اكتشفت -يعني هذا اكتشاف عالمي أعلنه عليكم هنا للمرة الأولى- أن هندسة إقليدس و هندسة لوباتشيفسكي صحيحتان كلتاهما، و أن هندسة ريمان خاطئة طبعا... يعني على الأقل هي هندسة لاإقليدية جدا، أكثر بكثير من هندسة لوباتشيفسكي -و لي عودة. هل ترغبون بمعرفة المزيد أيها الأحبة؟ إذن فاتبعوني لنستعرض معا قصة الهندسة اللاإقليدية، حيث سنستعرض قصص الرياضيين و الفلاسفة و المحاربين و العشاق و الشعراء و السكارى، اليونان و العرب و الألمان و الروس، و على الأخص: سنستعرض مغامرة العقل الإنساني و رغبة الإنسان في معرفة الحقيقة، هذه الرغبة التي توحد بين البشر في أممية عظيمة واحدة.. .. .

 

 

	بدايات الهندسة... عرفت الهندسة منذ أيام البابليين: لقد تم اكتشاف ألواح بابلية تحوي نظرية فيثاغوروث المزعومة(*) و تعود لأكثر من ألف و خمسمئة عام قبل فيثاغوروث! أما المصريون، فقد تركوا لنا أدلة واضحة ترى بالعين المجردة في ضاحية الجيزة بالقرب من القاهرة، أدلة لا تدع مجالا للشك بمعرفتهم لعلم الهندسة و لإنشاء الأهرام المنتظمة. و هنا لا بد لنا أن نطرح السؤال: لماذا اختفى تراث البابليين و المصريين، و ظهر التاريخ، خصوصا تاريخ العلوم، كما لو كان قد ابتدأ مع الإغريق؟ الجواب نجده فيما حصل حوالي 2200 عام قبل الميلادففي مدينة أوغاريت هذه حصل اختراع عظيم: الأبجدية! هذا الإختراع الذي قدر له أن يسيطر على العالم (* * * * ): ففي حين نقول نحن العرب: ألف باء جيم دال، يقول الإغريق: ألفا بتا جاما دلتا، و يقول الفرنساويون: آ بي سي دي! مع ظهور الأبجدية اتضح أن كل ثقافة لا تتم "أبجدتها" هي ثقافة آيلة إلى الإنقراض. و كان ما لا شك فيه أن أول شعب ينشئ امبراطورية "مؤبجدة" هو من سيحكم العالم. كان الفينيقيون أول المرشحين للعب هذا الدور: فهم أصحاب هذا الإختراع! لكنهم، و بكل صراحة يعني، كانوا جماعة تجار، و لم يكونوا محاربين... و لهذا فلم تجتمع المدن الفينيقية -رغم انتشارها على كافة سواحل المتوسط - في دولة واحدة، و لا في شبه دولة. و هذا ما فعله، بالمقابل، شعب من المحاربين: الإغريق. الإغريق كانوا محاربين -هل تذكر قصة معركة ماراثون؟ و كان مثال الحرب الأعلى عندهم هو اسبارطة، مدينة ذات نظام فاشي أو بالفاشي أشبه... و كي لا أتهم بالتجني، فإليكم بعض خصائص مدينة اسبارطة القديمة: - كان الطفل يؤخذ من منزله بمجرد بلوغه السابعة من العمر حيث يوضع في معسكرات يتلقى فيها التدريب العسكري حتى سن البلوغ. - ثم كان يخضع لامتحان التخرج: حيث يطلب منه أن يعيش لمدة عام في منطقة جبلية مسلحا بسكين لا غير، مع إمكانية قتله من قبل دوريات العسس إن لاقته. - فإن نجح في ذلك، يعود للمدينة لكن يجب عليه أن يعيش في الثكنات حتى يبلغ الثلاثين من العمر. - و عندها يصبح مواطنا كامل الحقوق... إلا قليلا! - ذلك أن مواطني اسبارطة كاملي الحقوق كانوا يشاركون بفاعلية في الحياة السياسية عن طريق مجلس النواب، لكن السلطة الحقيقية كانت بيد مجلس الأعيان... الذي يضم الأسر الغنية! * * * بهذا النظام العسكري الفاشي تمكنت اسبارطة من فرض سيطرتها -و من خلالها سيطرة اليونان- على البحر المتوسط بأكمله خلال القرون ما بين السابع و الخامس قبل الميلاد. نشأت الإمبراطورية اليونانية و أصبحت هي الإمبراطورية العظمى. و صارت اللغة اليونانية هي لغة العلم و الثقافة، و صار علماء اليونان هم العلماء لا علماء غيرهم، و أهملت أو ضاعت ثقافة من سبقهم من الشعوب... طبعا ربما صار هذا أحيانا و بشكل مقصود، لكن في الغالب الأعم كان الأمر يتم بشكل تلقائي: دعني أعطيك مثالا:حتى اليوم، يصف الأوروبيون أرقامهم بأنها "الأرقام العربية"، مع أننا نعلم تماما أن هذه الأرقام ليست عربية و لا هم يحزنون، لكنها هندية! فلمه؟ لأن الأوروبيين أخذوا هذه الأرقام من العرب، فهم إذن يسمونها باسم من أخذوها عنه... و ربما هذا ما حصل مع العلوم ما قبل الإغريقية: فحين يأتي عالم إغريقي فينشر بحثا لعالم سابق عليه، كان الناس ينسون العالم السابق و ينسبون العمل لهذا العالم الذي نشره... .. .

 

 

	فماذا كانت الهندسة الإغريقية؟ بدايات الهندسة الإغريقية... بدأت الهندسة الإغريقية، وفقا لما نعلم، مع تاليس الميلطي، من مدينة Milet التي تقع على الشاطئ الشرقي لبحر إيجة. يعني في تركيا الحالية. عاش تاليس الميلطي في القرن السابع قبل الميلاد، و أما بشأن ولادته فتتضارب الروايات: فهناك من يدعي أنه كان ابنا لتاجر ميسور يدعى إكسميناس و لزوجته كليوبولين، و هناك من يدعي أنه من سلالة الإله زوس و الأميرة الفينيقية أوروبا... و نترك للقارئ أن يختار بين هذين الرأيين... كان تاليس هو أول الفلاسفة الإغريق، و أول عالم هندسة، و أول من حسب ارتفاع هرم خوفو، و أول بطل أولمبي... باختصار: كان الأول في كل ما كان يعرفه الإغريق. هناك كلمة تنسب عادة لتاليس: الماء هو أصل كل الأشياء . و من أشهر نتائج تاليس نظريته في المثلثات المتشابهة . في مدينته، ميلطة، أسس تاليس مدرسة للهندسة، كان من أهم طلابها، و خليفته في إدارتها، ابن مدينته أناكسيماندر الميلطي. و كلا من تاليس و أناكسيماندر تتابعا على تدريس طالب ذي ذكاء فائق: فيثاغوروس من جزيرة ساموس، الواقعة بالقرب من الشاطئ الشرقي لبحر إيجة. .. .

 

 

	فيما يخص فيثاغوروس، الذي عاش في القرن السادس قبل الميلاد، مجددا تتضارب الآراء: فهناك من يقول أنه ولد لأب تاجر من مدينة صور، و أن هذا الأب حصل على جنسية جزيرة ساموس بصفة "مواطن شرف" لأنه نقل إليها شحنة من الذرة في وقت كانت تعاني فيه من القحط... في حين أن البعض الآخر -و منهم فيثاغوروس نفسه- يدعون أنه ذو أصل إلهي و أن مجيئه للأرض تم الإعلان عنه بواسطة عرافة معبد الإله أبولو، و يدعي أن هذا هو تفسير اسمه (العرافة هي "بيتي" و هو "بيتاغوروس"). بالمقابل فنحن نعرف عن فيثاغوروس أنه كان كثير الترحال في طفولته، حيث رافق والده في رحلاته التجارية إلى الساحل السوري و حتى إلى بلاد البابليين (لاحظ !) و مصر.يقال أنه حين بلغ الثامنة عشرة من عمره شارك في الألعاب الأولمبية و فاز في بطولة الملاكمة... لكن أهم أعمال فيثاغوروس هو إنشاءه لديانة سرية ، تقوم على تقديس الزعيم (فيثاغوروس طبعا) و عبادة الأرقام و اعتبارها ذات دلالة عميقة! كان الفيثاغورسيون يرون أن العدد 10 هو سيد الأعداد و تجتمع فيه الخصال الحميدة. و هم من وضعوا تعريف الأعداد المربعة -و أيضا عرفوا أعدادا سموها مستطيلة و أعدادا أخرى سموها مثلثة- . كان فيثاغورس رجلا أحمق، و قد سن لأتباعه قواعدا للسلوك الحسن! و هاكم غيضا من فيض: 1- امتنع عن أكل البقوليات. 2- لا تلتقط ما سقط. 3- لا تأكل من الديك الأبيض. 4- لا تقضم قطعة من رغيف كامل. 5- لا تمش في الطريق العام. 6- عتدما ترفع القدر عن النار فلا تترك له أثرا في الرماد بل اخلط الرماد. 7- و هكذا دواليك، و هلم جرا، و على ذلك قس! كانت جماعة فيثاغوروس جماعة دينية متعصبة و منغلقة، و كانت دراستهم للرياضيات سرا يحتفظون به دون الآخرين... و يروون، تبريرا لشياع نتائجهم، أي نظرياتهم الرياضية (الجيدة و المفيدة، و هي بالمناسبة ليست بالضرورة نتائج فيثاغوروس شخصيا و لكنها على الأغلب نتائج عمل طلابه فنسبت له يبرر الفيثاغورسيون نشر نتائجهم بأن أحد أعضاء جماعتهم أضاع مالا كان يعود لها، اي للجماعة، فسمحوا له أن يدرس الرياضيات كي يسترجع المال الذي فقده... .. .

 

 

	و ما نعنيه بصيغ أخرى للمسلمة الخامسة، هو أن أيا من النظريات التي سنعرضها لاحقا يمكن اعتمادها كمسلمة عوضا عن المسلمة الخامسة لاإقليدس، و عندها تصبح مسلمة إقليدس هذه نظرية يمكن برهانها ببساطة.و لكن إن احتفظنا بمسلمة إقليدس الخامسة، فكل ما يلي هو نظريات يمكن برهانها ببساطة ضمن هندسة إقليدس... في كل من الحالات التالية، سنسبق نص النظرية باسم عالم الهندسة الذي استخدمها -سواء كان واعيا أنها مسلمة، أم كان استخدامه لها مضمرا بصفتها بديهية... 1- مسلمة بلايفير و قد ذكرناها أعلاه: من نقطة خارج مستقيم يمكن رسم مواز واحد لهذا المستقيم 2- مسلمة ساكيري (Saccheri): مجموع زوايا المثلث يساوي قائمتين (180 درجة). 3- مسلمة أخرى لساكيري: الزاوية المرسومة ضمن نصف دائرة قائمة. 4- أيضا من ساكيري: مجموع زوايا أي شكل رباعي يساوي أربع زوايا قائمة. 5- العباس بن سعيد الجواهري: طول الخط النازل من الزاوية القائمة على الوتر في مثلث قائم يساوي نصف طول الوتر. 6- مسلمة بولايي (Bolyai): من ثلاث نقاط غير واقعة على مستقيم واحد تمر دائرة. 7- غوص: يوجد مثلثات كبيرة. 8- مسلمة واليس (Wallis): توجد مثلثات مشابهة لمثلث ما. 9- مسلمة أخرى من ساكيري: يوجد مثلثان متشابهان. 10- مسلمة أخرى من إقليدس: المستقيمان الموازيان لثالث متوازيان فيما بينهما. 11- ابن الهيثم: مستقيمان متقاطعان لا يمكن لهما أن يوازيا مستقيما ثالثا (نفس السابقة). 12- من ابن الهيثم أيضا: البعد بين المستقيمين المتوازيين ثابت. 13- من ابن الهيثم مجددا: البعد بين مستقيمين متوازيين محدود (هذه أجمل من السابقة). 14- من ابن سينا، و من ابن الهيثم أيضا: النقاط متساوية البعد عن مستقيم تمثل مستقيما. 15- الجواهري مجددا: من نقطة داخل زاوية يمكن رسم مستقيم يقطع ضلعي الزاوية. 16- الطوسي: إن أنشأنا عمودا على مستقيم، و أنشأنا قاطعا آخر له بحيث لا يكون عمودا، فهما متقاطعان. 17- الخ... إلخ... إلى ما لانهاية له... .. .

 

 

	يتبع أن شاء الله الله الموفق و المستعان الموضوع منقول للأفاده .. .

 

 

	دعوني آخذ مسلمة غوص : يوجد مثلثات كبيرة! هذه المسلمة لشدة بساطتها تبدو و كأنها بديهية... و لكن مع ذلك، ف غوص لم يخدع بها و اعتبر أنها مسلمة تساوي في صعوبة برهانها أي مسلمة أخرى مكافئة... نفس الكلام ينطبق على مسلمة ساكيري القائلة "يوجد مثلثان متشابهان"، أو مسلمة الجواهري الأخيرة "من نقطة داخل زاوية يمكن رسم مستقيم يقطع ضلعي الزاوية"... من بين كافة هذه الصياغات الممكنة، لماذا اختار إقليدس أسوأ صياغة ممكنة على الإطلاق؟ هناك رأي يقول أن إقليدس أراد ابتداء أن يضع مسلمته الخامسة بشكل نظرية و يبرهنها انطلاقا من بقية المسلمات، ثم إنه حين حاول ذلك وجد نفسه ينتقل من صيغة لأخرى من الصيغ التي كتبناها أعلاه، و كل مرة يجد نفسه مضطرا من جديد أن يقبل بها كمسلمة بديلة أو أن يحاول برهانها... حتى إذا ما أعياه البحث، و اضطر أن يتخلى عن محاولة البرهنة على هذه "النظرية"، فإنه وضعها بشكل مسلمة... و لكن كي يترك المجال لعلماء الهندسة بعده أن يتابعوا فيما عجز هو عنه، فإنه اختار أسوأ صياغة ممكنة لهذه المسلمة، كي تكون استفزازا و تحديا للرياضيين من بعده بحيث يدفعهم للتفكير فيها... سواء صح هذا الرأي أم لم يصح، فهذا هو ما حصل حقا عبر التاريخ: لقد استفزت هذه الصياغة كبار الرياضيين عبر التاريخ و دفعتهم لمحاولة برهانها... حتى توصل لوباتشيفسكي لصياغة الهندسة اللاإقليدية... في مقالي المقبل سأحاول وضع مجموعة براهين رياضية على بعض نظريات إقليدس ذات الصلة... .. .