مسابقة أجمل حل : س4 - الصفحة 3

08-02-2009, 09:53 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة محمد خالد غزول [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مشكور على الحل الجميل
وما سيبتش أى فرصة لينا نقول فيها حاجة قلت إنت كل حاجة
أكرر شكرى

09-02-2009, 09:01 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة استاذ الرياضيات [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباُ بالأعضاء الكرام

الحالة العامة
المطلوب حل المعادلة
أ جتاهـ + ب جاهـ = جـ
بوضع س = جتا هـ & ص = جا هـ
حيث ( س , ص) تحقق المتطابقة الأساسية س2 + ص2 =1

تصبح المعادلة على الصورة
أ س + ب ص = جـ وهى معادلة خط مستقيم
وتكون مجموعة الحل هى نقط تقاطع هذا المستقيم المعطى مع دائرة الوحدة
س2 + ص2 =1

الأن : طول العمود الساقط من مركز الدائرة على هذا المستقيم
ل = |جـ| \ الجذر التربيعى ( أ2 + ب2)

أولاً : فى حالة ل > 1 لا يقطع المستقيم الدائرة ومجموعة الحل فاى

ثانياً : فى حالة ل = 1 يكون المستقيم مماس للدائرة
عند النقطة ( أ\جـ , ب \جـ) وتكون مجموعة الحل هى
{ هـ + 2 ن ط : ن اى عدد صحيح , ط هى النسبة التقريبية }
حيث 0 < هـ < 360 , جتا هـ = أ\جـ , جاهـ = ب\جـ
وهى الحالة الخاصة المعطاة

ثالثا: ل < 1
المستقيم يقطع الدائرة فى نقطتان يمكن الحصول عليهما بحل النظام
أ س + ب ص = جـ & س2 + ص2 = 1 معاً

نكمل
ثالثا: ل < 1
المستقيم يقطع الدائرة فى نقطتان يمكن الحصول عليهما بحل النظام
أ س + ب ص = جـ & س2 + ص2 = 1 معاً

بالتعويض من المعادلة الأولى فى الثانية عن قيمة ص نحصل على المعادلة
س2 + [ ( جـ - أ س )\ ب]2 = 1
(أ2 + ب2) س2 - 2 أ جـ س + جـ2 - ب2 = 0
و نحصل على الحل من القانون العام
الجذر الأول س = [أ جـ + ب × جذر ( أ2 + ب2 - جـ2)] \ (أ2 + ب2)
الجذر الثانى س = [أ جـ - ب × جذر ( أ2 + ب2 - جـ2)] \ (أ2 + ب2)

10-02-2009, 01:28 AM

10-02-2009, 06:04 AM

3cosx+4sinx=5

3cos x = 5 – 4sin x

:by squaring

9cos²x = 25 +16sin² x - 40sin x

(adding $9sin^2x$ to both sides)

$cos^2x+ 9sin^2x = 25 + 25sin^2x- 40sinx$

$25sin^2x - 40sin x +16=0$

5sinx – 4)² = 0 )

5sinx=4

Sin x =4/5

X=53 7 48.37

12-02-2009, 02:07 AM

السلام عليكم و رحمة الله
1/ حل المعادلة: $3cosx+4sinx=5$
نضع العدد المركب: $z=3+4i$ على الشكل المثلثي أي: $z=r{e}^{i\theta }$ حيث: $r=\left|z \right|=5$ و $\theta =Arg(z)\equiv \theta \left[2\pi\right]$
حيث: $cos\theta =\frac{3}{5} , sin\theta =\frac{4}{5}\Rightarrow \theta =arctan\frac{4}{3}$
المعادلة السابقة تصبح على النحو التالي:
$5cos(x-\theta )=5\Leftrightarrow cos(x-\theta )=1=cos0$
$\Leftrightarrow x=\theta +2k\pi /k\in \mathbb{Z}$
و منه مجموعة الحلول هي:
$S=\left(\theta +2k\pi ;k\in \mathbb{Z}/\theta =Arctan\left(\frac{4}{3} \right) \right)$

12-02-2009, 03:12 AM

2/ حل المعادلة العامة: $acosx+bsinx=c$
- إذا كان $\left(a,b \right)\neq \left(0,0 \right)$ نضع: $r=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$ و $z=\frac{a+ib}{r}$ . لدينا $\left|z \right|=1$ ومنه يوجد $\theta \in \mathbb{R}$ بحيث: $z={e}^{i\theta }$
المعادلة السابقة تصبح على الشكل التالي:
$cos\theta cosx+sin\theta sinx=\frac{c}{r}\Leftrightarrow cos(x-\theta )=\frac{c}{r}.$
- نناقش عدد الحلول حسب وضعية $c$ بالنسبة إلى $\pm r$
المناقشة:
- إذا كان $\left|\frac{c}{r} \right|\succ 1$ لا توجد حلول.
- إذا كان $\left|\frac{c}{r} \right|\leq 1$ يوجد هناك حلين للمعادلة السابقة هما: ${x}_{1,2}={z}_{1,2}+\theta +2k\pi /k\in \mathbb{Z}$
حيث: ${z}_{1,2}$ هما حلي المعادلة: $cosz=cos(x-\theta )=\frac{c}{r}$ .
أو طريقة أخرى:
المعادلة السابقة يمكن كتابتها على الشكل: $Re\left((a-ib){e}^{ix}-c \right)=0$ و التفسير الهندسي لهذه المعادلة هو عبارة
عن إيجاد نقط التقاطع بين الدائرة المثلثية و المستقيم الذي معادلته: $Arg\left((a-ib)z-c \right)=1$

12-02-2009, 05:54 PM

13-02-2009, 09:09 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

الحقيقة

لجميع المشاركين ، هناك حلول لم نتوقع رؤيتها و لم نفكر بأن هذا السؤال يمكن حله بطرق متعددة و مختلفة ، 11 طريقة فاقت كل التصورات

و الحقيقة أيضا أن الاختيار كان صعبا جدا

مع التنويه بحل كل من الأخوين علاء رمضان و asyam24

نتيجة السؤال الرابع

أجمل حل المرتبة الاولى :
mourad24000:
5 نقاط
أجمل حل المرتبة الثانية :
استاذ الرياضيات:
4 نقاط
أجمل حل المرتبة الثالثة :
مي حافظ :
3 نقاط
أجمل حل المرتبة الرابعة :
محمد خالد غزول :
نقطتان

نقطة واحدة للحلول غير المكررة لكل من :
جود الحرف
علاء رمضان
رامي عبود
سيد كامل
نوريتا
hesham
mathson
mlyazid21
asyam24
naserellid

13-02-2009, 09:25 PM

اسف لقد فاتني الوقت قليلا وهو
http://www.arabruss.com/uploaded/4262/444.doc

13-02-2009, 10:05 PM

شكرا أستاذي الفاضل على الطريقة الرائعة و التي كنت مستغربا لماذا لم
يستخدمها أحد مع أنها من الطرق المشهورة لحل هذه المسألة !

و الحقيقة أنك لم تتأخر و لكن تم تعديل وقت إنتهاء المسابقة إلى السادسة

مساءً بتوقيت غرينيتش بدلا من منتصف الليل (لموافقته الرابعة صباحا هنا)

و نحن الذين عليهم واجب الاعتذار


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة