حلول تمارين

فى

حساب المثلثات

 

 

تمرين رقم : (1)

ظاهـ = 1/3
ظاى = 1/7
ظا2هـ = ( 2 ظاهـ ) / ( 1 - ظا^2 هـ ) = 3/4

ظا( 2هـ + ى ) = [ ظا2هـ + ظاى ] / [ 1 - ظا2هـ ظاى ]
= [ 3/4 + 1/7 ] / [ 1 - ( 3/4 )( 1/7 )] = 1

( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 5 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثالث

جاى = 1/5جذر2 ، جتاى = 7/5جذر2
جاهـ = 1/جذر10 ، جتاهـ = 3/جذر10
جا2هـ = 2 جاهـ جتا2هـ = 3/5
جتا2هـ = 4/5

جا( 2هـ + ى ) = جا2هـ جتاى + جتا2هـ جاى = 1/جذر2

( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 3 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثانى

إذن :

( 2هـ + ى ) = ط/4 وتقع فى الربع الأول

 

 

تمرين رقم (2)

أثبت أن
ظا 3 س = ظا س × ظا ( 60 - س ) × ظا ( 60 + س )

ومن ذلك أثبت أن
ظا 50 ظا 60 ظا 70 = ظا 80

قام الابن سامح بإثبات المطلوب الأول

بالنسبة للمطلوب الثانى :

حيث أن : ظا(60 - س)* ظا(60 + س) = ظا3 س / ظاس

ظا50 ظا70 = ظا(60 - 10 )* ظا(60 + 10) = ظا30 / ظا10

ظا50 ظا60 ظا70 = ظا30 ظا60/ ظا10 = 1 / ظا10

ظا80 = ظا(90 - 10) = ظتا10 = 1 / ظا10

ظا 50 ظا 60 ظا 70 = ظا 80

 

 

تمرين رقم (3)

أثبت أن جتا^2 س+ جتا^2(أ+س)-2جتا أ جتا س جتا (أ+س) تأخذ القيمة نفسها لجميع قيم س المختلفة.

 

 

تمرين رقم (4)

أثبت أن :
ظا^-1 ( 120 / 119 ) - ظا^-1 ( 1/ 239 ) = ط/4



نفرض أن :

ظاهـ = 120/119

ظاى = 1/239

ظا(هـ - ى) = (ظاهـ - ظاى)/(1 + ظاهـ ظاى)

= [(120/119) - (1/239)]/[1 + (120/119)(1/239)]

= [(120*239) - 119]/[(119*239) + 120]

= [120*239) - 119 ]/[120*239 - 239 + 120]

= [120*239) - 119]/[120*239 - 119] = 1

هـ - ى = ط/4

ظا^-1 ( 120 / 119 ) - ظا^-1 ( 1/ 239 ) = ط/4

 

 

تمرين رقم (5)

أثبت أن :
ظا س ظا 2 س ظا 3 س = ظا 3 س - ظا 2 س - ظا س



ظا3س = ظا(2س + س) = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]

ظا3س - ظا2س - ظاس = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]- ظا2س - ظاس

= [1/(1 - ظا2س ظاس)]*[ظا2س + ظاس - ظا2س + ظا^2(2س)ظاس - ظاس + ظا2س ظا^2(س)]

= [ظا^2(2س)ظاس + ظا2س ظا^2(س)]/(1 - ظا2س ظاس)

= ظا2س ظاس (ظا2س + ظاس)/(1 - ظا2س ظاس)

= ظا3س ظا2س ظاس

حيث :

[ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس] = ظا3س

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

جزاك الله خيرا الأستاذ محى