تمرين ( 30 )

ما العدد الذي إذا طرح من مربعه 119 يكون باقي الطرح مساويا لعشرة أمثال باقي طرح 8 من هذا العدد ؟


نفرض العدد = س

س^2 - 119 = 10×(س - 8) = 10 س - 80

س^2 - 10 س - 39 = 0
(س - 13)(س + 3) = 0

س = 13 أو س = - 3

ويحققان الشرط

 

 

تمرين ( 31 )

عمر رجل خمسة أمثال عمر ولده ومجموع مربعي عمريهما 2106 فما عمرهما ؟


نفرض أن :
عمر الأب = س عام
عمر الابن = ص عام

س = 5 ص
س^2 + ص^2 = 2106

26 ص^2 = 2106
ص^2 = 81

ص = 9 أعوام
س = 45 عام

 

 

تمرين ( 32 )

مجموع مقلوبي عددين متتالين ( 15 ÷ 56 ) فما العددان ؟



الحل بطريقة التحليل الرياضى :

15/56 = (8 + 7)÷ (8 × 7) = 1/7 ، 1/8
ويكون العددان هما : 7 ، 8

15/56 = [15 *(8 - 7)]÷ [8 × 7] = 15/7 - 15/8
ويكون العددان هما : 7/15 ، - 8/15


الحل بالطريقة الجبرية :

نفرض أن العددين هما : أ ، ب

أ - ب = 1 ........... ، ومنها : أ = 1 + ب

1/أ + 1/ب = 15/56

(أ + ب)/أ*ب = 15/56

(1 + 2 ب)× 56 = (ب + ب^2)× 15

15 ب^2 - 97 ب - 56 = 0

باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد

ب = 7 ............. ، ومنها : أ = 8

أو

ب = - 8/15 ........ ، ومنها : أ = 7/15

 

 

تمرين ( 33 )

ما العدد الذي إذا أضيف إليه 17 يصير الناتج مساويا مقلوب هذا العدد ستين مرة؟


نفرض أن العدد = أ

أ + 17 = 60 / أ

أ^2 + 17 أ - 60 = 0
(أ - 3)(أ + 20) = 0

أ = 3 أو أ = - 20

تحققان الشروط


حل آخر :

معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد على الصورة :

س^2 - (مجموع جذرى المعادلة)*س + (حاصل ضرب الجذرين) = 0

أ^2 + 17 أ - 60 = 0

أ^2 - (- 17)*أ + (- 60) = 0

- 17 = - 20 + 3
- 60 = - 20 × 3

أ = 3 أو أ = - 20

 

 

تمرين ( 34 )

ما العددان اللذان مجموعهما 9 أمثال فرقهما وفرق مربعيهما 81 ؟


نفرض أن العددان هما : أ ، ب

أ + ب = 9 (أ - ب)
أ^2 - ب^2 = 81

(أ - ب)(أ + ب) = 81
9 (أ - ب)^2 = 81
(أ - ب)^2 = 9
(أ - ب) = + 3 أو - 3

عند (أ - ب) = 3
يكون : (أ + ب) = 27
وينتج أن :
أ = 15 ، ب = 12

عند (أ - ب) = - 3
يكون : (أ + ب) = - 27
وينتج أن :
أ = - 15 ، ب = - 12

 

 

تمرين ( 35 )

حاصل جمع عدد ومربعه تسعة أمثال العدد الذي يليه في الكبر فما العدد ؟


نفرض أن العدد = أ

أ + أ^2 = 9 (أ + 1)
أ^2 - 8 أ - 9 = 0

أ^2 - [(9 + (- 1)]* أ + (9 × - 1) = 0

أ = 9 أو أ = - 1

يحققان الشروط

 

 

تمرين ( 36 )


لأى عددين حقيقيين س ، ص - برهن أن : س^2 +/- س*ص + ص^2 >/= 0


(س + ص)^2 = س^2 + ص^2 + 2 س*ص
س*ص = 1/2*[(س + ص)^2 - (س^2 + ص^2)]

(س - ص)^2 = س^2 + ص^2 - 2 س*ص
- س*ص = 1/2*[(س - ص)^2 - (س^2 + ص^2)]

إذن :

س^2 + س*ص + ص^2 = س^2 + 1/2*[(س + ص)^2 - (س^2 + ص^2)] + ص^2
= 1/2*[(س + ص)^2 + (س^2 + ص^2)] > 0

س^2 - س*ص + ص^2 = س^2 + 1/2*[(س - ص)^2 - (س^2 + ص^2)] + ص^2
= 1/2*[(س - ص)^2 + (س^2 + ص^2)] > 0

وتساوى الصفر فى حالة س = ص = 0

 

 

تمرين ( 37 )

إذا كان جـ 1 هو مجموع ن حداً من متتابعه حسابيه
، جـ 2 هو مجموع ن حداً التاليه لها من نفس المتتابعه
، جـ 3 """""""""""""""""""""""""""
أثبت أن ( جـ 1 ، جـ 2 ، جـ 3 ) تكون حدود متتاليه من متتابعه حسابيه


نفرض :

المتتابعة الأولى هى : أ ، (أ + د) ، (أ + 2 د) ، ... ( أ + (ن - 1)د)
فيكون :
ج1 = (ن/2)[أ + أ + (ن - 1)د] = (ن/2)[2أ + (ن - 1)د]

المتتابعة الثانية : (أ + ن د) ، (أ + (ن + 1)د) ، ... ، (أ + (2ن - 1)د)
ج2 = (ن/2)[(أ + ن د) + (أ + (2ن - 1)د) = (ن/2)[2أ + (3ن - 1)د]

المتتابعة الثالثة : (أ + 2ن*د) ، ( أ + (2ن + 1)د) ، ... ، (أ + (3ن - 1)د)
ج3 = (ن/2)[(أ + 2ن*د) + (أ + (3ن - 1)د)] = (ن/2)[2أ + (5ن - 1)د]

ج1 + ج3 = (ن/2)[2أ + (ن - 1)د] + (ن/2)[2أ + (5ن - 1)د]

= (ن/2)[4أ + (6ن - 2)د] = 2 × (ن/2)[2أ + (3ن - 1)د]

= 2 × ج2

إذن : الحدود ج1 ، ج2 ، ج3 فى تتابع حسابى

 

 

تمرين ( 38 )

أوجد :
المتتابعه الحسابيه التى مجموع ن حداً الأولى منها = ن(17- 2ن)
وأوجد أكبر عدد من حدود هذه المتتابعه يمكن جمعه لكى يكون المجموع موجباً


نفرض أن المتتابعة : أ ، أ + د ، ... ، أ + (ن - 1)د
ج ن = (ن/2)[2أ + (ن - 1)د] = ن[17 - 2ن]

ن[(2أ - د) + د*ن] = ن[34 - 4*ن]

(2أ - د) = 34 ، د = - 4 ــــ> أ = 15

المتتابعة : 15 ، 11 ، 7 ، 3 ، - 1 ، ...


ن[17 - 2ن] > 0
وحيث ن عدد صحيح موجب ـــ> [17 - 2ن] > 0

2ن < 17
ن < 9

ن = 8

للتحقق :

ج8 = 8*[17 - 2×8] = 8
ج9 = 9*[17 - 2×9] = - 9

 

 

تمرين ( 39 )

اثبت أن العدد المرفوع للأس صفر = 1

لنبحث فى المتتابعة الهندسية :

3 ، 9 ، 27 ، 81 ، ...

ولنضعها على الصورة :

3^1 ، 3^2 ، 3^3 ، ...

وهى تعنى أنه كلما تحركنا جهة اليسار نضرب الحد × 3 ليعطى الحد التالى له

وإذا تحركنا جهة اليمين نقسم الحد ÷ 3 ليعطينا الحد الذى يسبقه

وهذا ما نسميه أساس المتتابعة

وعلى ذلك تكون المتتابعة :

1/27 ، 1/9 ، 1/3 ، 1 ، 3 ، 9 ، 27 ، ...

أى :

3^(-3) ، 3^(-2) ، 3^(-1) ، 3^(0) ، 3^(1) ، 3^(2) ، 3^(3) ، ...

فيكون : 3^0 = 1

وهذا ينطبق على أى عدد (أساس المتتابعة ) بشرط لا يساوى صفر


طريقة أخرى باستخدام قوانين الأسس :

أ^س ÷ أ^ص = أ^(س - ص)

فمثلا :

3^4 ÷ 3^2 = 3^(4-2) = 3^2
3^4 ÷ 3^3 = 3^(4-3) = 3^1
ولتأتى إلى :
3^4 ÷ 3^4 = 1 ، ( حيث البسط = المقام )
وبتطبيق قانون الأسس
3^4 ÷ 3^4 = 3^(4-4) = 3^0

إذن : 3^0 = 1

ويكون : أ^0 = أ^(4-4) = أ^4 ÷ أ^4 = 1
بشرط : أ لا تساوى الصفر

مثال آخر :

من قوانين الأسس :

3^7 × 3^0 = 3^(7+0) = 3^7

فما هو العدد الذى إذا ضُرِب × عدد آخر يساوى العدد الآخر ؟

الجواب : الواحد (1) هو الذى بضربه فى عدد آخر لا تتغير قيمة هذا العدد الآخر