تمرين (40)

أثبت أن : [ظا( أ + ب)]/ [ ظتا( أ ــ ب)] = (جا^2أ ـــ جا^2ب) /( جتا^2 أ ــ جا^2ب)

ظا(أ + ب) = [ظاأ + ظاب]/[1 - ظاأ ظاب] =

= [جاأ/جتاأ + جاب/جتاب]/[1 - جاأ جاب/جتاأ جتاب]

= [جاأ جتاب + جاب جتاأ]/[جتاأ جتاب - جاأ جاب]

وبالمثل

ظا(أ - ب) = [جاأ جتاب - جاب جتاأ]/[جتاأ جتاب + جاأ جاب]

الطرف الأيمن = [جاأ جتاب + جاب جتاأ]/[جتاأ جتاب - جاأ جاب]*[جاأ جتاب - جاب جتاأ]/[جتاأ جتاب + جاأ جاب]

= [جا^2 أ جتا^2 ب - جا^2 ب جتا^2 أ]/[جتا^2 أ جتا^2 ب - جا^2 أ جا^2 ب]

البسط = [جا^2 أ جتا^2 ب - جا^2 ب جتا^2 أ] = جا^2 أ*(1 - جا^2 ب) - جا^2 ب *(1 - جا^2 أ)

= جا^2 أ - جا^2 أ*جا^2 ب - جا^2 ب + جا^2 أ*جا^2 ب = جا^2 أ - جا^2 ب

المقام = [جتا^2 أ جتا^2 ب - جا^2 أ جا^2 ب] = جتا^2 أ جتا^2 ب - (1 - جتا^2 أ)(1 - جتا^2 ب)

= جتا^2 أ جتا^2 ب - 1 + جتا^2 أ + جتا^2 ب - جتا^2 أ جتا^2 ب = جتا^2 أ + جتا^2 ب - 1

= جتا^2 أ - جا^2 ب

ظا(أ + ب) = [ظاأ + ظاب]/[1 - ظاأ ظاب] = [جا^2 أ - جا^2 ب]/[جتا^2 أ - جا^2 ب]



حل آخر :

[ظا( أ + ب)]/ [ ظتا( أ ــ ب)] = [جا(أ + ب) جا(أ - ب)]/[جتا(أ + ب)جتا(أ - ب)]

= 1/2[جتا2 ب - جتا2 أ]/1/2[جتا2 أ + جتا2 ب]

= [1 - 2 جا^2 ب - 1 + 2 جا^2 أ]/[2 جتا^2 أ - 1 + 1 - 2 جا^2 ب]

= [جا^2 أ - جا^2 ب]/[جتا^2 أ - جا^2 ب]

 

 

تمرين (41)

اذا كان ظا أ = ك جا ب / ( م + ك جتا ب)
أثبت أن : ظا ( ب ــ أ ) = م جاب / ( ك + م جتا ب)

ظا(ب - أ) = [ظاب - ظاأ]/[1 + ظاب ظاأ]

البسط = ظاب - ظاأ = جاب/جتاب - [ك جاب/(م + ك جتاب)]

= [م جاب + ك جاب جتاب - ك جاب جتاب]/[جتاب(م + ك جتاب)]

= م جاب /[جتاب(م + ك جتاب)]

المقام = 1 + ظاب ظاأ = 1 + (ك جا^2 ب)/[جتاب(م + ك جتاب)]

= [[جتاب(م + ك جتاب)] + ك جا^2 ب]/[جتاب(م + ك جتاب)]

= [م جتاب + ك (جتا^2 ب + جا^2 ب)]/[جتاب(م + ك جتاب)]

= (ك + م جتاب)/[جتاب(م + ك جتاب)]

ظا(ب - أ) = م جاب/(ك + م جتاب)

 

 

تمرين (42)

أذا كان ظا أ = (ن جا ب جتا ب) / ( 1 ــ ن جا^2ب)
أثبت أن: ظا ( ب ــ أ ) = ( 1 ــ ن ) ظاب


ظاأ = (ن جاب جتاب)/(1 - ن جا^2 ب) ، ... ... بقسمة البسط والمقام ÷ جتا^2 ب

ظاأ = ن ظاب/(قا^2 ب - ن ظا^2 ب) = ن ظا ب/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]

ظا(ب - أ) = [ظاب - ظاأ]/[1 + ظاب ظاأ]

البسط = ظاب - ظاأ = ظاب - (ن ظا ب/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]*[ظاب + (1 - ن) ظا^3 ب - ن ظاب]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]*[(1 - ن)ظاب + (1 - ن)ظا^3 ب]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]*[(1 - ن)ظاب*(1 + ظا^2 ب)]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]*[(1 - ن)ظاب*قا^2 ب]

المقام = 1 + ظاب ظاأ = 1 + ظاب* ن ظا ب/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]*[1 + (1 - ن)ظا^2 ب + ن ظا^2 ب]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]*[1 + ظا^2 ب - ن ظا^2 ب + ن ظا^2 ب]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]* قا^2 ب

ظا(ب - أ) = (1 - ن) ظاب

 

 

تمرين (43)

عصا طولها ( أ ) قدم وضعت رأسيا علي حافة حائط رأسي أرتفاعه ( 3 أ) قدم.
وقف رجل ليرصد بحيث كانت عينه والحافة العليا للعصا في مستقيم أفقي واحد فوجد أن زاويه انخفاض قاعدة الحائط ضعف زاوية انخفاض قمة الحائط.
احسب بالنسبة الي ( أ ) المسافة الافقية التي بين عين الراصد وبين الطرف العلوي للعصا.

 

 

تمرين (44)

أثبت أن :
ظا20 ظا 30 + ظا30 ظا40 + ظا40 ظا20 =1




نضع الطرف الأيمن على الصورة :

ظا30 * ظا(30 - 10) + ظا30 * ظا(30 + 10) + ظا(30 + 10)*ظا(30 - 10)

بالتعويض عن قيمة كل من :

ظا(30 - 10) = (ظا30 - ظا10)/(1 + ظا30*ظا10)

ظا(30 + 10) = (ظا30 + ظا10)/(1 - ظا30*ظا10)

الطرف الأيمن =
ظا30*(ظا30 - ظا10)/(1 + ظا30*ظا10) +
ظا30*(ظا30 + ظا10)/(1 - ظا30*ظا10) +
(ظا30 - ظا10)/(1 + ظا30*ظا10)*(ظا30 + ظا10)/(1 - ظا30*ظا10)

= [ 3ظا^2(30) + 2ظا^2(30)*ظا^2(10) - ظا^2(10) ]/ [ 1 - ظا^2(30)*ظا^2(10) ]

بالتعويض عن قيمة ظا30 = 1/جذر3 ... ... ظا^2(30) = 1/3

الطرف الأيمن =
[1 + 2/3 ظا^2(10) - ظا^2(10)]/[1 - 1/3 ظا^2(10)] =

[1 - 1/3 ظا^2(10)]/[1 - 1/3 ظا^2(10)] = 1

 

 

تمرين (45)

أثبت أن:
[ (جتا2س +جتا12س) / ( جتا6 س +جتا8 س)] + [ ( جتا7س ــ جتا3 س ) / ( جتا س ــ جتا3 س ) ] + ( 2جا4 س / جا2 س ) = 0


نستخدم العلاقات التالية :

جتاج + جتاد = 2*جتا[(ج + د)/2]*جتا[(ج - د)/2]
جتاج - جتاد = - 2*جا[(ج + د)/2]*جا[(ج - د)/2]
جا2 ج = 2*جاج جتاج
جا(ج - د) = جاج جتاد - جتاج جاد


[ (جتا2س +جتا12س) / ( جتا6 س +جتا8 س)] = [2*جتا7س جتا5س]/[2*جتا7س جتاس] = جتا5س / جتاس

[( جتا7س ــ جتا3 س ) / ( جتا س ــ جتا3 س )] = [- 2*جا5س جا2س]/[- 2*جا2س جا- س] = - جا5 س / جاس

( 2جا4 س / جا2 س ) = 4*جا2 س جتا2 س / جا2 س = 4*جتا2 س

المقدار = جتا5س / جتاس - جا5 س / جاس + 4*جتا2 س

= [جاس جتا5 س - جاس جتا5 س]/(جاس جتاس) + 4*جتا2 س

= جا(- 4س)/(جاس جتاس) + 4*جتا2س

= [- 2 جا2س جتا2س]/[1/2* جا2س] + 4*جتا2س

= - 4 جتا2 س + 4 جتا2 س = 0

 

 

تمرين (46)

تحقق أن:
ظا5 س + ظا5 س × ظا7 س × ظا2 س = ظا 7 س - ظا 2 س
س عدد حقيقي من أجله المساواة محققة.


ظا5 س = ظا(7 س - 2 س) = [ظا7 س - ظا2 س]/[1 + ظا7 س ظا2 س]

ومنها : [1 + ظا7 س ظا2 س] = [ظا7 س - ظا2 س]/ظا5 س

الطرف الأيمن للمعادلة

ظا5 س + ظا5 س × ظا7 س × ظا2 س = ظا5 س*[1 + ظا7 س ظا2 س]

= [ظا7 س - ظا2 س]*ظا5 س/ظا5 س

= [ظا7 س - ظا2 س] ... ، بشرط
س عدد حقيقى ولا تساوى ك ط أو (2 ك + 1) ط/2
حيث ك = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...

 

 

تمرين (47)

[جاأ + جاب + جاج] ÷ [جتاأ + جتاب + جتاج] = جاب / جتاب

جاأ جتاب + جاب جتاب + جاج جتاب = جاب جتاأ + جاب جتاب + جاب جتاج

جاأ جتاب + جاج جتاب = جاب جتاأ + جاب جتاج ... ... ... (1)

جتاب*[جاأ + جاج] = جاب*[جتاأ + جتاج]

ظاب = [جاأ + جاج] ÷ [جتاأ + جتاج] = [2*جا(أ + ج)*جتا(أ - ج)/2] ÷ 2*جتا(أ + ج)/2*جتا(أ - ج)/2]

ظاب = ظا(أ + ج)/2 ... ... ... ... (2)

زاوية ب = ك*ط + (أ + ج)/2 ... ... حيث ك = 0 ، 1 ، 2 ، ..

عند ك = 0
ب = (أ + ج)/2
وتكون زاوية ب هى الوسط الحسابى بين الزاويتين أ ، ج


وأيضا من المعادلة (1) :

جاب جتاأ - جتاب جاأ = جاج جتاب - جتاج جاب

جا(ب - أ) = جا(ج - ب)

إما ب - أ = ج - ب
أى ب = (أ + ج)/2

وهى تحقق المعادلة رقم (2)
وتكون زاوية ب هى الوسط الحسابى بين الزاويتين أ ، ج


أو

(ب - أ) = ك ط - (ج - ب)
وهى لا تحقق المعادلة رقم (2)

 

 

تمرين (48)

يقف رجل طوله 175 سم امام يافطه محل طولها مترين وترتفع 4 امتار عن سطح الارض
فأذا كان بعد الرجل عن المحل = س من الامتار اوجد زاويه ابصار الرجل لليافطه بدلاله س
ثم اوجد زاويه الابصار عندما يكون الرجل على بعد 6 متر من المحل

 

 

تمرين (49)

أثبت أن :

ظــا(س + ص) = [جــا²(س) - جــا²(ص)]/[جــا(س)×جـتــا(س) - جــا(ص)×جـتــا(ص)]


جا^2 س - جا^2 ص = 1/2*[(1 - جتا2 س) - (1 - جتا2 ص)] =
= 1/2*[جتا2 ص - جتا2 س] = 1/2*- 2*جا(ص + س)*جا(ص - س)
= جا(س + ص)*جا(س - ص)

جا س جتا س - جا ص جتا ص = 1/2*[جا2 س - جا2 ص)
= 1/2*2*جتا(س + ص) جا(س - ص) = جتا(س + ص) جا(س - ص)

الطرف الأيسر = [جا^2 س - جا^2 ص] / [جا س جتا س - جا ص جتا ص]
= [جا(س + ص)*جا(س - ص)] / [جتا(س + ص) جا(س - ص)] = ظا(س + ص) = الطرف الأيمن