Logarithme

22-11-2009, 12:46 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
Prove that
$\frac{1}{x+1}\leq ln \frac{x+1}{x}\leq \frac{1}{x}$
for every x > 0

22-11-2009, 03:14 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة jomanaomar [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
Prove that
$\frac{1}{x+1}\leq ln \frac{x+1}{x}\leq \frac{1}{x}$
for every x > 0

و عليكم السلام و رحمة الله
الدالة $t\rightarrow \ln t$ معرفة و مستمرة على المجال المغلق $(x, x+1)$ حيث $x>0$
و قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $)x, x+1($ .
و منه حسب نظرية التزايدات المنتهية يوجد ثابت $c\in )x, x+1($ حيث:
$\ln (x+1)-\ln (x)=\left(x+1-x \right).\frac{1}{c}$
$\Leftrightarrow \ln \left(\frac{x+1}{x} \right)=\frac{1}{c}$
$x<c<x+1\Rightarrow \frac{1}{x+1}<\frac{1}{c}<\frac{1}{x}$
و منه ينتج المطلوب

22-11-2009, 06:33 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
بوركت استاذ مراد على هذا الحل الرائع
توجد حلول اخرى

03-12-2009, 12:58 AM

http://www.arabruss.com/uploaded/75612/1259791593.doc

03-12-2009, 01:08 AM

حل أخر
http://www.arabruss.com/uploaded/75612/1259791593.doc

03-12-2009, 06:46 AM

رائع


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة