السؤال للأخ خالد :

أوجد المشتقة النونية للدالة :

y = 1 / ax + b

==============================

الجواب


مرحبا بك أخي خالد







يمكننا الان إستنتاج المشتقة النونية :

لاحظ التالي :

إشارة المشتقة سالبة عندما تكون الرتبة عددا فرديا(كالمشتقة الأولى و الثالثة ) و موجبة إذا كانت الرتبة عددا زوجيا (كالمشتقة الثانية)

نستطيع بسهولة التعبير عن ذلك بوضع :



في المشتقة النونية

من الواضح أن أس العدد
a
متطابق مع رتبة المشتقة
y' : a
y" : a^2
نستطيع بسهولة التعبير عن ذلك بوضع :



من الواضح أن أس المقام
ax+b
متطابق مع رتبة المشتقة + 1
y' : (ax+b)^2
y" : (ax+b)^3
نستطيع بسهولة التعبير عن ذلك بوضع :



يبقى الأعداد :
1, 2, 6 , 24 .......
ما هي إلا مضروب العدد :
1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1× 2 × 3 = 6
4! = 1×2 ×3 × 4 = 24
و عليه تكون المشتقة النونية :


علينا الان أن نثبت صحة هذه المقولة و ذلك بواسطة الإستقراء الرياضي

INDUCTION

 

 

نفرض أنها صحيحة عند
n = k
و من ثم نثبت صحتها عند
n = k+1


المشتقة ذات الرتبة
k+1
نقوم باشتقاق المشتقة من الرتبة
k

لاحظ





و هي صحيحة لأنك إذا استبدلت

n with k+1
ستحصل على نفس القاعدة

للمزيد من المعلومات عن الإستقراء الرياضي ، انظر :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/sho...=&threadid=377