مسابقة أجمل حل : س4 - الصفحة 2

07-02-2009, 09:25 AM

منتدى جميل وفيه معلومات مفيدة
يشكر القائمين عليه

07-02-2009, 09:51 AM

سبقنا الإخوة الكرام و لم يتركوا لنا شيئا.

لكن لدي فكرة بسيطة، وأرجو أن لا أكون قد أخطأت في شيء.

نعلم أن $a+bi = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ . بالتالي $a+b = r(\cos \theta + \sin \theta)$ ويجب أن تحقق $a^2+b^2 = r^2$ .

الآن نأتي إلى المسألة: $3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 5$ تتحول إلى $3(\cos \theta + \sin \theta) + \sin \theta = 5$ .
بالتعويض في المعادلة الأخيرة:

$a + b + \frac{b}{3} = 5 \Rightarrow 3a + 4b = 15$ .

ولكن:

$a^2 + b^2 = \left(\frac{15 - 4b}{3}\right)^2 + b^2 = 9$

ومنه

$144- 120b + 25b^2 =0\Rightarrow b = \frac{12}{5}\Rightarrow \theta \approx 53^\circ$

أو بشكل عام فإن حلول أي معادلة بهذا الشكل هو:

$\pm \arccos \left(\frac{bc - a\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}}{a^2 + b^2} \right)\\ \pm \arccos \left(\frac{bc + a\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}}{a^2 + b^2} \right)\\$

مع ملاحظة أن ليس كل الحلول دائما ستكون موجودة.

والله أعلم.

07-02-2009, 10:38 AM

أجمل حل لهذه المسألة : 3cos(x)+4sin(x)=5
بقسمة طرفي المعادلة على 5نجد:

(3/5)cosx+(4/5)sinx=1
إذن يوجد عدد حقيقي y بحيث : cosy=0.6 ,siny=0.8أيأن: y=53.13°
تكتب المعادلة السابقة : cosycosx+sinysinx=1
وهي مكافئة للمعادلة : cos(x-y)=1
ومنه نجد :
x-y=(pi/2)+2(pi)k
x=y+(pi)/2+2(pi)k
وحيث أن : y=53.13° نجد: x=143.13°.

07-02-2009, 11:23 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mlyazid21 [ مشاهدة المشاركة ]

[COLOR="Indigo"]أجمل حل لهذه المسألة : 3cos(x)+4sin(x)=5
بقسمة طرفي المعادلة على 5نجد:

(3/5)cosx+(4/5)sinx=1
إذن يوجد عدد حقيقي y بحيث : cosy=0.6 ,siny=0.8أيأن: y=53.13°
تكتب المعادلة السابقة : cosycosx+sinysinx=1
وهي مكافئة للمعادلة : cos(x-y)=1
ومنه نجد :
x-y=0+2(pi)k
x=y+2(pi)k
وحيث أن : y=53.13° COLOR]

merci bcp

08-02-2009, 12:24 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

07-02-2009, 10:51 AM

اقتباس :

بسم الله الرحمن الرحيم
اخي المشرف يعطيك العافيه
اليكم الحل :
بالتعويض عن جتا س = الجذر التربيعي (1 - جا^2س)
فأن 3 [الجذر التربيعي(1- جا^2س)] = 5 - 4 جاس
بتربيع الطرفين نصل للمعادله التربيعية
25جا^2س -40جاس +16=0
بحل المعادله باستخدام القانون نجد أن : المميز =0
اذن جاس = -ب| 2أ = 4/5
س = 53،13 ْ
مع تحياتي للجميع

أخي الكريم مع تحيتي لك فإن هذه الطريقة خطيرة جداً فهناك حلول تفقد بسبب فكرة تربيع الطرفين، وهذه تذكرني أيضاً الخطأ الآخر وهو القسمة على أحد الدالتين جتا أو جا فهي طريقة أيضا تؤدي لفقد بعض الحلول والسبب في الحالة الأولى فقد الإشارة، وفي الحالة الثانية احتمالية كون الدالة تساوي صفر وارد، ولذلك فإن هذه الطريقة تنفع فقط بشروط ولذلك أنصح بعدم تدريسها للطلاب بهذا الشكل أبداً ولكم الشكر

07-02-2009, 12:36 PM

بسم الله الرحمن الرحيم
الحمدلله والصلاة والسلام على رسول الله وعلى آله وصحبه أجمعين
رااااااااااااااااااائع
مجهود جميل جدا
جزاكم الله خيرا
والى الامام دائما ان شاء الله

08-02-2009, 07:36 AM

08-02-2009, 03:34 PM

اولا : احمد الله على عودة المنتدى واتمنى الجميع التوفيق وهذه اول مشاركة لي بعد العودة الحميدة وهو حل جرئ جدا

http://www.arabruss.com/uploaded/4262/1234096406.zip

08-02-2009, 06:05 PM

والله مااعرف الرياضيات


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة