مسابقة صيف 2009 - المجموعة (12)

11-08-2009, 02:04 PM

11-08-2009, 09:21 PM

أول أربع تكاملات ويمكن أن تحل بالتجزيء أو بالاعداد المركبة

122 )

$\\\int e^x\,sin\,x\,dx \\ \\=\int e^x\,\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\ \\=\frac{1}{2i}\int\left ( e^{x(1+i)}-e^{x(1-i) \right ) }\,dx \\ \\=\frac{1}{2i}\left (\frac{ e^{x(1+i)}}{1+i}-\frac{e^{x(1-i)}}{1-i} \right )+c \\ \\=\frac{e^x}{2}\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}-ie^{ix}-ie^{-ix}}{2i} \right )+c \\ \\= \frac{e^x}{2}\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}-\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right )+c \\ \\= \frac{e^x(sin\,x-cos\,x)}{2}+c$

123 )

$\\\int e^{ax}\,sin\,nx\,dx \\ \\=\int e^{ax}\,\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i} \\ \\=\frac{1}{2i}\int\left ( e^{x(a+in)}-e^{x(a-in) \right ) }\,dx \\ \\=\frac{1}{2i}\left (\frac{ e^{x(a+in)}}{a+in}-\frac{e^{x(a-in)}}{a-in} \right )+c \\ \\=\frac{e^{ax}}{a^2+n^2}\left(\frac{ae^{inx}-ae^{-inx}-ine^{ix}-ine^{-ix}}{2i} \right )+c \\ \\= \frac{e^{ax}}{a^2+n^2}\left(a\left( \frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\right )-n\left( \frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\right ) \right )+c \\ \\= \frac{e^{ax}(asin\,x-ncos\,x)}{a^2+n^2}+c$

124 )

$\\ \int e^{x}\,cos\,x\,dx \\ \\u = e^x \; \; \; \; du=e^xdx \\dv= cos\,x\,dx \; \; \; \; v= sin\,x \\ \\ \int e^{x}\,cos\,x\,dx= e^x\,sin\,x-\int e^x\,sin\,x\,dx \\ \\ u = e^x \; \; \; \; du =e^x dx \\dv=sin\,x \; \; \; \; v=-cos\,x \\ \\ \int e^{x}\,cos\,x\,dx= e^x\,sin\,x+e^x\,cos\,x-\int e^{x}\,cos\,x\,dx \\ \\\int e^{x}\,cos\,x\,dx=\frac{e^x}{2}\left(sin\,x+cos\,x \right )+c$

125 )

$\\ \int e^{ax}\,cos\,nx\,dx \\ \\u = e^{ax} \; \; \; \; du=ae^{ax}dx \\ \\dv= cos\,nx\,dx \; \; \; \; v= \frac{1}{n}sin\,nx \\ \\ \int e^{ax}\,cos\,nx\,dx=\frac{1}{n} e^{ax}\,sin\,nx-\frac{a}{n}\int e^{ax}\,sin\,nx\,dx \\ \\ u = e^{ax} \; \; \; \; du =ae^{ax} dx \\ \\dv=sin\,nx \; \; \; \; v=-\frac{1}{n}cos\,nx \\ \\ \int e^{x}\,cos\,x\,dx= \frac{1}{n} e^{ax}\,sin\,nx+\frac{a}{n^2}e^{ax}\,cos\,nx-\frac{a^2}{n^2}\int e^{x}\,cos\,x\,dx \\ \\ \int e^{ax}\,cos\,nx\,dx = \frac{e^{ax}\left( \frac{1}{n} \,sin\,nx+\frac{a}{n^2}\,cos\,nx\right ) }{1+\frac{a^2}{n^2}}+c \\ \\ \int e^{ax}\,cos\,nx\,dx = \frac{e^{ax}\left(n \,sin\,nx+a\,cos\,nx\right ) }{n^2+a^2} +c$

12-08-2009, 01:42 AM

السلام عليكم و رحمة الله
حل 122 - 123 - 124 بطريقة أخرى
http://www.arabruss.com/uploaded/32772/1250026264.docx

12-08-2009, 02:21 AM

حل 125 - 126
http://www.arabruss.com/uploaded/32772/1250029036.docx

12-08-2009, 03:00 AM

حل 127 - 128
http://www.arabruss.com/uploaded/32772/1250031409.docx

12-08-2009, 03:54 AM

حل 129
http://www.arabruss.com/uploaded/32772/1250034628.docx

الرجاء مراجعة السؤال 130 أعتقد أن هناك خطأ في نتيجة التكامل
و الله أعلم

14-08-2009, 12:27 AM

السلام عليكم
المجموعة 12
ملف وورد مضغوط

http://www.arabruss.com/uploaded/38374/1250195242.rar

14-08-2009, 12:30 AM

الصفحة ( 1 )

14-08-2009, 12:31 AM

الصفحة ( 2 )

14-08-2009, 12:33 AM

الصفحة ( 3 )


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة