تمرين رقم (10)

أ ب حـ ثلاث نقط ليست على استقامة واحدة وتقع في المستوى الأفقي المار بقاعدة برج القاهرة حـ ، وكان أ ب = 1924.360م ، ق<( أ ب حـ ) = 66.5ه، ق<( ب أ حـ ) = 40ه وزاوية ارتفاع قمة البرج د من أ هي 5.8ه . أحسب ارتفاع البرج لأقرب متر.

الزوايا موضحة بالرسم عاليه

العمل : نرسم ب هـ عمودى على أ ج

الحل :

ب هـ / أ ب = جا40 = 0.6427

ب هـ = 1924.36*0.6427 = 1236.954 متر

ب هـ / ب ج = جا73.5 = 0.9588

ب ج = 1236.954 / 0.9588 = 1290.079

فى المثلث أ ب ج :

(أ ج)^2 = (أ ب)^2 + (ب ج)^2 - 2*(أ ب)(ب ج)جتا66.5

= (1924.360)^2 + (1290.079)^2 - 2*(1924.360)(1290.079)(0.3987)

ومنها : أ ج = 1840.613 متر

فى المثلث أ د ج :

د ج عمودى على ج أ ( حيث ج أ يقع فى المستوى الأفقى للمثلث ج أ ب ، د ج عمودى على السطح الأفقى )

د ج / ج أ = ظا5.8 = 0.10157

د ج = 1840.613 * 0.10157 = 186.95 = 187 متر

 

 

تمرين رقم (11)

حـ ، د قلعتان على ضفة نهر رصدتا من مكانيين أ ، ب البعد بينهم 1350متر فوجد < حـ أ ب = 108درجة ، < د أ ب = 12¯ 43 درجة ، < حـ ب أ = 10¯ 32 درجة، < د ب أ = 12¯ 87 درجة . احسب البعد بين القلعتين

تنويه :

الحسابات لأقرب رقمين عشريين للنسب المثلثية ، ولأقرب متر للأبعاد

الزوايا موضحة بالرسم عاليه

العمل :

نرسم أ د عمودى على ج ب ، ب هـ عمودى على أ د

الحل :

ب هـ / أ ب = جا 43.2 = 0.68

ب هـ = 1350 * 0.68 = 924 متر تقريبا

ب هـ / ب د = جا 49.6 = 0.76

ب د = 924/0.76 = 1213 متر تقريبا

(أ د)^2 = (أ ب)^2 + (د ب)^2 - 2*(أ ب)(د ب)(جتا 87.2)

= (1350)^2 + (1213)^2 - 2*1350*1213*0.048 = 3136664

أ د = 1771 متر تقريبا

أ و / أ ب = جا32.16 = 0.53

أ و = 1350*0.53 = 718 متر تقريبا

أ و / أ ج = جا39.84 = 0.64

أ ج = 718/0.64 = 1120 متر تقريبا

فى المثلث أ ج د :

أ ج = 1120 متر ، أ د = 1771 متر ، زاوية ج أ د = 64.8

ف^2 = (ج د)^2 = (أ ج)^2 + (أ د)^2 - 2*(أ ج)(أ د)(جتا64.8)

ومنها ف = 1650 متر تقريبا

 

 

تمرين رقم (12)

أثبت أن :
ظا^ -1 1 + ظا^-1 2 + ظا^-1 3 = ط

نفرض أن :

ظا^-1 (ا) = هـ ، ظا^-1 (2) = و ، ظا^-1 (3) = ى

ظاهـ = 1
ظاو = 2
ظاى = 3

ظا(هـ + و) = (ظاهـ + ظاو)/(1 - ظاهـ ظاو) = - 3

ظا[ى + (هـ + و)] = [ ظاى + ظا(هـ + و)]/[1 - ظاى ظا(هـ + و)]

= [ 3 + (- 3)]/[1 - (3)(-3)] = 0

هـ + و + ى = ط ( فى حالة الزوايا تقع فى الربع الأول )

أما إذا وقعت فى الربع الثالث بعضها أو جميعها

فتكون القيمة : 2ط أو 3ط أو 4ط

 

 

تمرين رقم (13)

أثبت أن :
( جا 5 س + جا 3 س - جا 4 س ) ÷ ( جتا 5 س + جتا 3 س - جتا 4 س ) = ظا 4 س

حيث جتا س =/= 1/2

 

 

تمرين رقم (14)

جتا 70 = جا 20
جتا ( 30 + 40 ) = جا20
جتا 30 جتا 40 ـــ جا 30 جا 40 = جا 20
جتا 30 جتا40 = جا30 جا 40 + جا 20
بالقسمة على جا 30 جا 40
ظتا 30 ظتا 40 = 1 + جا 20 / ( 1 /2 فى 2 جا 20 جتا 20 )
....................= 1 + 1 / جتا 20
....................= 1 + قا 20

 

 

تمرين رقم (15)

 

 

تمرين رقم (16)

أثبت أن :
ظا^-1 س - ظا^-1 ص = ظتا^-1 ص - ظتا^-1 س

نفرض أن :

ظا^-1 (س) = هـ

ظا^-1 (ص) = ى

اذن :

ظتا^-1 (ص) = [(2ك+1)ط/2] - ى

ظتا^-1 (س) = [(2ك+1)ط/2] - هـ

ظا^-1 (س) - ظا^-1 (ص) = هـ - ى

ظتا^-1 (ص) - ظتا^-1 (س) = [(2ك+1)ط/2] - ى - [(2ك+1)ط/2] + هـ = هـ - ى

 

 

تمرين رقم (17)

 

 

تمرين رقم (18)

 

 

تمرين رقم (19)

( جتاج + جاج ) ( جتا2ج + حا2ج ) =

= ( جتاج جتا2ج + جاج جا2ج ) + ( جاج جتا2ج + جتاج جا2ج )

= جتا(2ج - ج) + جا(2ج + ج) = جتاج + جا3ج

حيث :

جتا(3ج - ط/2) = جتا3ج .جتاط/2 + جا3ج .جاط/2 = جا3ج

فيكون :

( جتاج + جاج ) ( جتا2ج + حا2ج ) = جتاج + جتا(3ج - ط/2)