بمناسبة الحديث عن التكامل

17-06-2008, 03:25 PM

المسائل بالمرفق

17-06-2008, 08:18 PM

$\int {\sqrt {e^x- 1} dx}$

${\rm{u = }}\sqrt {e^x- 1}\Rightarrow u^2= e^x- 1 \Rightarrow e^x= u^2+ 1$
$2udu = e^x dx \Rightarrow dx = \frac{{2udu}}{{e^x }} = \frac{{2udu}}{{u^2+ 1}}$
$\int {\sqrt {e^x- 1} dx}= \int {u\frac{{2udu}}{{u^2+ 1}}}$

$= \int {\frac{{2u^2 du}}{{u^2+ 1}}}= \int {2du - \int {\frac{2}{{u^2+ 1}}du} }$

$= 2u - 2\tan ^{ - 1} (u)$
when x=0 u=0
${\rm{when x = ln2u = }}\sqrt {e^{\ln 2}- 1}= \sqrt {2 - 1}= 1$
=the integral

$\left. {2u - 2\tan ^{ - 1} (u)} \right|_0^1= (2 - 2\frac{\pi }{4}) - (0)$
$= 2(1 - \frac{\pi }{4})$

17-06-2008, 08:19 PM

السؤال الثاني يتبع بإذن الله

17-06-2008, 08:34 PM

$\int {\frac{{\ln x}}{{x^2 }}} dx = \int {x^{ - 2} } \ln xdx$

${\rm{u = lnx , du = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}$

$dv = x^{ - 2} {\rm{ v ,= }}\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}$
$\int {x^{ - 2} } \ln xdx = \frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}{\rm{lnx + }}\int {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}} \frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}dx = \frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}{\rm{lnx + }}\int {{\rm{x}}^{{\rm{ - 2}}} dx}$
$= \frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}{\rm{lnx + }}\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}$
$\int\limits_1^e {x^{ - 2} } \ln xdx = \left. {\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}{\rm{lnx + }}\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}} \right|_1^e= (\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{e}}}{\rm{lne + }}\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{e}}}) - (\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{1}}}{\rm{ln1 + }}\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{1}}})$
$\frac{{ - 2}}{e} + 1$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة